Bảng thưa (Sparse Table)

定义

ST 表示意图

ST 表（Sparse Table，稀疏表）是用于解决 可重复贡献问题 的数据结构．

什么是可重复贡献问题？

可重复贡献问题 是指对于运算 \(\operatorname{opt}\)，满足 \(x\operatorname{opt} x=x\)，则对应的区间询问就是一个可重复贡献问题．例如，最大值有 \(\max(x,x)=x\)，gcd 有 \(\operatorname{gcd}(x,x)=x\)，所以 RMQ 和区间 GCD 就是一个可重复贡献问题．像区间和就不具有这个性质，如果求区间和的时候采用的预处理区间重叠了，则会导致重叠部分被计算两次，这是我们所不愿意看到的．另外，\(\operatorname{opt}\) 还必须满足结合律才能使用 ST 表求解．

什么是 RMQ？

RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值．解决 RMQ 问题有很多种方法，可以参考 RMQ 专题．

引入

Luogu P3865【模板】ST 表 & RMQ 问题

给定 \(n\)（\(1\le n\le 10^5\)）个整数，有 \(m\)（\(1\le m\le 2\times 10^6\)）个询问，对于每个询问，你需要回答区间 \([l,r]\) 中的最大值．

考虑暴力做法．每次都对区间 \([l,r]\) 扫描一遍，求出最大值．

显然，这个算法会超时．

ST 表

ST 表基于倍增思想，可以做到 \(\Theta(n\log n)\) 预处理，\(\Theta(1)\) 回答每个询问．但是不支持修改操作．

基于倍增思想，我们考虑如何求出区间最大值．可以发现，如果按照一般的倍增流程，每次跳 \(2^i\) 步的话，询问时的复杂度仍旧是 \(\Theta(\log n)\)，并没有比线段树更优，反而预处理一步还比线段树慢．

我们发现 \(\max(x,x)=x\)，也就是说，区间最大值是一个具有「可重复贡献」性质的问题．即使用来求解的预处理区间有重叠部分，只要这些区间的并是所求的区间，最终计算出的答案就是正确的．

如果手动模拟一下，可以发现我们能使用至多两个预处理过的区间来覆盖询问区间，也就是说询问时的时间复杂度可以被降至 \(\Theta(1)\)，在处理有大量询问的题目时十分有效．

具体实现如下：

令 \(f(i,j)\) 表示区间 \([i,i+2^j-1]\) 的最大值．

显然 \(f(i,0)=a_i\)．

根据定义式，第二维就相当于倍增的时候「跳了 \(2^j-1\) 步」，依据倍增的思路，写出状态转移方程：\(f(i,j)=\max(f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1))\)．

以上就是预处理部分．而对于查询，可以简单实现如下：

对于每个询问 \([l,r]\)，我们把它分成两部分：\([l,l+2^s-1]\) 与 \([r-2^s+1,r]\)，其中 \(s=\left\lfloor\log_2(r-l+1)\right\rfloor\)．两部分的结果的最大值就是回答．

ST 表的查询过程

根据上面对于「可重复贡献问题」的论证，由于最大值是「可重复贡献问题」，重叠并不会对区间最大值产生影响．又因为这两个区间完全覆盖了 \([l,r]\)，可以保证答案的正确性．

Luogu P3865【模板】ST 表 & RMQ 问题参考实现

C 风格C++ 风格Python

#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
constexpr int N = 100000 + 5;
constexpr int logN = 16;  // ⌊ log_2 N ⌋
int f[logN + 1][N], Logn[N];

// 初始化对数值
void pre() {
  Logn[2] = 1;
  for (int i = 3; i < N; i++) {
    Logn[i] = Logn[i / 2] + 1;
  }
}

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  pre();
  int n, m;
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> f[0][i];
  for (int j = 1; j <= logN; j++)
    for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
      f[j][i] = max(f[j - 1][i], f[j - 1][i + (1 << (j - 1))]);  // ST表具体实现
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    int s = Logn[y - x + 1];
    cout << max(f[s][x], f[s][y - (1 << s) + 1]) << '\n';
  }
  return 0;
}

#include <algorithm>
#include <functional>
#include <iostream>
#include <vector>
#if defined(_MSC_VER) && !defined(__clang__)
#include <immintrin.h>
#define __builtin_clz _lzcnt_u32
#endif
using namespace std;

// 使用内建函数计算 ⌊ log_2 x ⌋
int lg2(int x) { return 31 - __builtin_clz(x); }

template <typename T>
class SparseTable {
  using VT = vector<T>;
  using VVT = vector<VT>;
  using func_type = function<T(const T &, const T &)>;

  VVT ST;

  static T default_func(const T &t1, const T &t2) { return max(t1, t2); }

  func_type op;

 public:
  SparseTable(const vector<T> &v, func_type _func = default_func) {
    op = _func;
    int n = v.size(), l = lg2(n);
    ST.assign(l + 1, VT(n, 0));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      ST[0][i] = v[i];
    }
    for (int j = 1; j <= l; ++j) {
      for (int i = 0; i + (1 << j) <= n; ++i) {
        ST[j][i] = op(ST[j - 1][i], ST[j - 1][i + (1 << (j - 1))]);
      }
    }
  }

  T query(int l, int r) {
    int q = lg2(r - l + 1);
    return op(ST[q][l], ST[q][r - (1 << q) + 1]);
  }
};

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  int n, m;
  cin >> n >> m;
  vector<int> a(n);
  for (int &i : a) cin >> i;
  SparseTable<int> st(a);
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    cout << st.query(x - 1, y - 1) << '\n';
  }
  return 0;
}

import sys

input = sys.stdin.readline


class SparseTable:
    def __init__(self, arr: list, func=min):
        self.func = func
        self.n = len(arr)
        self.log = [0] * (self.n + 1)

        for i in range(2, self.n + 1):
            self.log[i] = self.log[i // 2] + 1

        self.k = self.log[self.n]
        self.st = [[0] * (self.n) for _ in range(self.k + 1)]
        self.st[0] = arr

        for j in range(1, self.k + 1):
            i = 0
            while i + (1 << j) <= self.n:
                self.st[j][i] = self.func(
                    self.st[j - 1][i], self.st[j - 1][i + (1 << (j - 1))]
                )
                i += 1

    def query(self, left: int, right: int):
        j = self.log[right - left + 1]
        return self.func(self.st[j][left], self.st[j][right - (1 << j) + 1])


n, m = map(int, input().split())
a = list(map(int, input().split()))
st = SparseTable(a, max)
for _ in range(m):
    left, right = map(int, input().split())
    print(st.query(left - 1, right - 1))

注意点

输入输出数据一般很多，建议开启输入输出优化．
在预处理 ST 表时通常需要建立一个一维大小为 \(\log n\)，另一维大小为 \(n\) 的数组，此时应优先让大小为 \(\log n\) 的维度作为第一维，以提升缓存局部性．
每次用 std::log 重新计算对数函数值并不值得，建议利用 __builtin_clz 或 __lg 等内建函数进行计算．如无法利用这些内建函数，也可以预处理对数函数值．预处理方式如下所示：

\[ \begin{cases} \texttt{Logn}[1] \gets 0, \\ \texttt{Logn}\left[i\right] \gets \texttt{Logn}\left[\frac{i}{2}\right] + 1. \end{cases} \]

ST 表维护其他信息

除 RMQ 以外，还有其它的「可重复贡献问题」．例如「区间按位与」、「区间按位或」、「区间 GCD」，ST 表都能高效地解决．

需要注意的是，对于「区间 GCD」，ST 表的查询复杂度并没有比线段树更优（令值域为 \(w\)，ST 表的查询复杂度为 \(\Theta(\log w)\)，而线段树为 \(\Theta(\log n+\log w)\)，且值域一般是大于 \(n\) 的），但是 ST 表的预处理复杂度也没有比线段树更劣，而编程复杂度方面 ST 表比线段树简单很多．

如果分析一下，「可重复贡献问题」一般都带有某种类似 RMQ 的成分．例如「区间按位与」就是每一位取最小值，而「区间 GCD」则是每一个质因数的指数取最小值．

总结

ST 表能较好的维护「可重复贡献」的区间信息（同时也应满足结合律），时间复杂度较低，代码量相对其他算法很小．但是，ST 表能维护的信息非常有限，不能较好地扩展，并且不支持修改操作．

习题

附录：ST 表求区间 GCD 的时间复杂度分析

在算法运行的时候，可能要经过 \(\Theta(\log n)\) 次迭代．每一次迭代都可能会使用 GCD 函数进行递归，令值域为 \(w\)，GCD 函数的时间复杂度最高是 \(\Omega(\log w)\) 的，所以总时间复杂度看似有 \(O(n\log n\log w)\)．

但是，在 GCD 的过程中，每一次递归（除最后一次递归之外）都会使数列中的某个数至少减半，而数列中的数最多减半的次数为 \(\log_2 (w^n)=\Theta(n\log w)\)，所以，GCD 的递归部分最多只会运行 \(O(n\log w)\) 次．再加上循环部分（以及最后一层递归）的 \(\Theta(n\log n)\)，最终时间复杂度则是 \(O(n(\log w+\log n))\)，由于可以构造数据使得时间复杂度为 \(\Omega(n(\log w+\log n))\)，所以最终的时间复杂度即为 \(\Theta(n(\log w+\log n))\)．

而查询部分的时间复杂度很好分析，考虑最劣情况，即每次询问都询问最劣的一对数，时间复杂度为 \(\Theta(\log w)\)．因此，ST 表维护「区间 GCD」的时间复杂度为预处理 \(\Theta(n(\log n+\log w))\)，单次查询 \(\Theta(\log w)\)．

线段树的相应操作是预处理 \(\Theta(n\log w)\)，单次查询 \(\Theta(\log n+\log w)\)．

这并不是一个严谨的数学论证，更为严谨的附在下方：

更严谨的证明

理解本段，可能需要具备时间复杂度的关于「势能分析法」的知识．

先分析预处理部分的时间复杂度：

设「待考虑数列」为在预处理 ST 表的时候当前层循环的数列．例如，第零层的数列就是原数列，第一层的数列就是第零层的数列经过一次迭代之后的数列，即 st[1..n][1]，我们将其记为 \(A\)．

而势能函数就定义为「待考虑数列」中所有数的累乘的以二为底的对数．即：\(\Phi(A)=\log_2\left(\prod\limits_{i=1}^n A_i\right)\)．

在一次迭代中，所花费的时间相当于迭代循环所花费的时间与 GCD 所花费的时间之和．其中，GCD 花费的时间有长有短．最短可能只有两次甚至一次递归，而最长可能有 \(O(\log w)\) 次递归．但是，GCD 过程中，除最开头一层与最末一层以外，每次递归都会使「待考虑数列」中的某个结果至少减半．即，\(\Phi(A)\) 会减少至少 \(1\)，该层递归所用的时间可以被势能函数均摊．

同时，我们可以看到，\(\Phi(A)\) 的初值最大为 \(\log_2 (w^n)=\Theta(n\log w)\)，而 \(\Phi(A)\) 不增．所以，ST 表预处理部分的时间复杂度为 \(O(n(\log w+\log n))\)．

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