Bỏ qua

Hình học 3D cơ bản

Nhiều khái niệm trong hình học không gian ba chiều tương tự như hình học hai chiều, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp giải quyết bài toán hình học hai chiều để giải quyết các bài toán hình học ba chiều.

Khái niệm cơ bản

Các khái niệm về điểm, vectơ, đường thẳng trong không gian ba chiều cũng tương tự như trong hai chiều, nên sẽ không trình bày lại ở đây.

Mặt phẳng

Chúng ta có thể biểu diễn một mặt phẳng bằng một điểm \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) nằm trên mặt phẳng đó và vectơ pháp tuyến (tức là vectơ vuông góc với mặt phẳng) \(\boldsymbol{n}\).

Vì \(\boldsymbol{n}\) vuông góc với mặt phẳng, nên nó cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Nói cách khác, giả sử \(\boldsymbol{n}=(A,B,C)\), thì mọi điểm \(P(x,y,z)\) nằm trên mặt phẳng đều thỏa mãn \(\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PP_0} = 0\).

Theo định nghĩa tích vô hướng, biểu thức trên tương đương:

\[ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \]

Sắp xếp lại ta được:

\[ Ax+By+Cz-(Ax_0+By_0+Cz_0)=0 \]

Đặt \(D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)\), khi đó phương trình mặt phẳng có dạng \(Ax+By+Cz+D=0\). Đây được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Các phép toán cơ bản

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Sử dụng kiến thức về vectơ không gian, ta có thể nhanh chóng tính được góc giữa các đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.

Với hai đường thẳng chéo nhau \(a\), \(b\), qua một điểm \(P\) trong không gian, dựng \(a' \parallel a\), \(b' \parallel b\), thì góc nhọn hoặc vuông giữa \(a'\) và \(b'\) được gọi là góc giữa hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\).

Với đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\alpha\), nếu \(a\) cắt \(\alpha\) tại \(A\), qua một điểm \(P\) trên \(a\) dựng đường vuông góc với mặt phẳng \(\alpha\) cắt \(\alpha\) tại \(O\), thì góc bù của góc giữa \(a\) và \(PO\) được gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Đặc biệt, nếu \(a \parallel \alpha\) hoặc \(a \subset \alpha\), thì góc giữa chúng là \(0^\circ\).

Với hai mặt phẳng \(\alpha\), \(\beta\), góc giữa chúng được định nghĩa là góc giữa hai đường thẳng \(a, b\) lần lượt vuông góc với giao tuyến \(l\) của hai mặt phẳng (trong đó \(a \subset \alpha\), \(b \subset \beta\)).

Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng và điều kiện vuông góc, song song

  • Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.

Từ định nghĩa này, ta có các kết luận sau: Giả sử hai đường thẳng \(l_1, l_2\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(s_1 (m_1, n_1, p_1)\), \(s_2 (m_2, n_2, p_2)\), gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng, ta có:

\[ \cos \varphi = \dfrac{\left | m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2 \right |}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}} \]

  • \(l_1 \perp l_2 \iff m_1m_2 + n_1n_2 + p_1p_2 = 0\)

  • \(l_1 \parallel l_2 \iff \dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{n_1}{n_2} = \dfrac{p_1}{p_2}\).

Góc giữa vectơ không gian và mặt phẳng

Khi đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ký hiệu \(\varphi\) (\(\varphi \in [0, \frac{\pi}{2}]\)).

Giả sử vectơ chỉ phương của đường thẳng là \(s(m, n, p)\), vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(f(a, b, c)\), khi đó:

  • Giá trị sin của góc: \(\sin\varphi = \dfrac{\left | am + bn + cp \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}\)

  • Đường thẳng song song mặt phẳng \(\iff am+bn+cp = 0\)

  • Đường thẳng vuông góc mặt phẳng \(\iff \dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p}\)

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng

Chỉ cần giải hệ phương trình giữa phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng.

Các định lý hình học không gian

Định lý sin không gian

Giả sử góc nhị diện \(M－AB－N\) có số đo \(\alpha\), trên mặt phẳng \(M\) có tia \(AC\), nó tạo với cạnh \(AB\) góc \(\beta\), và tạo với mặt phẳng \(N\) góc \(\gamma\), khi đó \(\sin\gamma = \sin\alpha\cdot\sin\beta\).

Định lý cosin không gian

Giả sử \(O\) là một điểm trên mặt phẳng, qua điểm \(B\) ngoài mặt phẳng kẻ đường thẳng \(BO\), hình chiếu của \(BO\) lên mặt phẳng là \(AO\), \(OC\) là một đường thẳng trên mặt phẳng, khi đó ba góc \(\angle COB, \angle AOC, \angle AOB\) có quan hệ cosin như sau: \(\cos\angle BOC=\cos\angle AOB\cdot\cos\angle AOC\) (chỉ xét các góc nhọn).

Tài liệu tham khảo

Last updated on this page:, Update history
Found an error? Want to help improve? Edit this page on GitHub!
Contributors to this page:shuzhouliu
All content on this page is provided under the terms of the CC BY-SA 4.0 and SATA license, additional terms may apply