Đồ thị phẳng

本文介绍（可）平面图及其相关概念．

平面图

如果图 \(G\) 能画在平面 \(S\) 上，即除顶点处外无边相交，则称 \(G\) 可嵌入平面 \(S\)，\(G\) 为 可平面图（planar graph）．画出的没有边相交的图称为 \(G\) 的平面表示或 平面嵌入（planar embedding）．可平面图的这个平面嵌入也称为 平面图（plane graph）．

「平面图」

不同中文文本中，「平面图」的含义可能不同．在本文的定义中，可平面图是一个图论对象，它可能以不同的方式嵌入平面中；平面图则是一个几何对象，除了图论结构外，它还需要指定图的绘制方式．同一个可平面图往往对应着多个平面图．因此，本文叙述的结论如果只依赖于图论结构，将使用「可平面图」一词；如果还依赖于图的平面嵌入方式，将使用「平面图」一词．

以下是平面图的简单例子：

（左：蝴蝶图；右：\(4\) 阶完全图 \(K_4\)）

以下是不可平面图的简单例子：

（左：\(5\) 阶完全图 \(K_5\)；右：两部分各 \(3\) 个顶点的完全二分图 \(K_{3,3}\)）

性质

本节介绍平面图的性质．

面及其次数

设 \(G\) 是平面图，由 \(G\) 的边将 \(G\) 所在的平面划分成若干个区域，每个区域称为 \(G\) 的一个面（face）．其中，无界的面称为 无限面（unbounded face）或 外部面（external face），有界的称为有限面或内部面．每一个平面图有且仅有一个外部面．

包围每个面的所有边组成的回路称为该面的边界（boundary），并称边界中的边与该面关联（incident）．边界的长度称为该面的次数（degree）．计算面的次数时，每条割边都算作两次．平面图中所有面的次数之和等于边数 \(|E|\) 的 \(2\) 倍．

平面图中，\(1\) 次面的边界对应于图的自环，\(2\) 次面的边界通常对应于图的一对重边¹．顶点数 \(|V|\ge 3\) 的简单连通平面图中，所有面次数都至少为 \(3\)．

欧拉公式

平面图的一个重要性质是 欧拉公式（Euler's formula）．它给出了图的顶点数 \(|V|\)、边数 \(|E|\) 和面数 \(|F|\) 之间的关系．

欧拉公式

对于连通的平面图 \(G\)，有

\[ |V| - |E| + |F| = 2. \]

证明

对于面数 \(|F|\) 应用数学归纳法．归纳起点是 \(|F|=1\)．此时，平面图有且只有一个外部面，全部边都是割边．所以，图 \(G\) 是一棵树，必然有 \(|E|=|V|-1\)，代入欧拉公式就可以发现它成立．假设欧拉公式对于面数 \(|F| = k\) 的平面图成立．对于面数 \(|F|=k + 1\) 的平面图 \(G\)，必然存在非割边 \(e\)，它是两个不同的面的公共边．将边 \(e\) 从图中删除，得到图 \(G-e\)，它有 \(|V|\) 个顶点、\(|E|-1\) 条边和 \(|F|-1\) 个面．由归纳假设，对图 \(G-e\) 成立欧拉公式，即 \(|V|-(|E|-1)+(|F|-1)=2\)，整理就得到关于图 \(G\) 的欧拉公式．所以，根据数学归纳法，欧拉公式对于所有平面图都成立．

推论

对于有 \(k\) 个连通分支的平面图 \(G\)，有

\[ |V| - |E| + |F| = k + 1. \]

证明

图 \(G\) 的每个连通分支都是平面图，但是这些连通分支共用同一个外部面．所以，直接对这些连通分支应用欧拉公式，并累加到一起，总顶点数和总边数都是正确的，但是总面数多了 \((k-1)\)，因为唯一的外部面总共计数了 \(k\) 次．将这一修正考虑在内，就得到 \(|V|-|E|+|F| = 2k - (k-1) = k+1\)．

由此，可以推出平面图的边与顶点的数量关系．

定理

对于有 \(k\) 个连通分支的平面图 \(G\)，如果图 \(G\) 的每个面次数都至少为 \(l \ge 3\)，那么有

\[ |E| \le \dfrac{l}{l-2}(|V|-k-1). \]

证明

因为 \(G\) 的各面的次数至少为 \(l\)，所以所有面的次数和至少为 \(l|F|\)，亦即 \(2|E| \ge l|F|\)．代入欧拉公式的推论 \(|V| - |E| + |F| = k + 1\)，就得到

\[ 2|E| \ge l(k + 1 - |V| + |E|). \]

利用 \(l \ge 2\) 解出 \(|E|\)，就得到

\[ |E| \le \dfrac{l}{l-2}(|V|-k-1). \]

推论

设 \(G\) 是简单可平面图，且 \(|V|\ge 3\)，那么，有

\[ |E| \le 3|V|-6. \]

证明

当 \(G\) 连通时，所有面次数都至少是 \(3\)．在上述定理中，取 \(k=1\) 且 \(l=3\)，就得到 \(|E|\le 3|V|-6\)．

当 \(G\) 不连通时，分为两种情形：

如果存在连通分支顶点数至少是 \(3\)，那么对这些顶点数至少为 \(3\) 的连通分支可以分别建立不等式 \(|E_i|\le 3|V_i|-6\)．因为那些顶点数小于 \(3\) 的连通分支一定有 \(|E_i|\le |V_i| \le 3|V_i|\)．将所有连通分支对应的不等式相加，就得到 \(|E|\le 3|V|-6\)．
如果所有连通分支顶点数都小于 \(3\)，那么整体一定有 \(|E|\le |V|\)．又因为 \(|V|\ge 3\) 时，\(|V|\le 3|V|-6\)，所以 \(|E|\le 3|V|-6\) 仍然成立．

综上，命题得证．

这一推论说明，简单可平面图是稀疏图．

对偶图

平面图都有相应的（几何）对偶图．

设 \(G\) 是平面图，可以绘制图 \(G^*\) 如下：

在 \(G\) 的每个面 \(f_i\) 内部都绘制一个点 \(v_i^*\)．
对 \(G\) 的每条边 \(e\)，如果 \(e\) 在面 \(f_i\) 和 \(f_j\) 的公共边界上，就绘制一条连接 \(v_i^*\) 和 \(v_j^*\) 的边 \(e^*\)，使之与 \(e\) 恰相交一次，且不与其他图 \(G\) 或图 \(G^*\) 的边相交．特别地，当 \(e\) 只出现在一个面 \(f_i\) 的边界上时，需要绘制一条与 \(v_i^*\) 关联的自环，使之与 \(e\) 相交．

这样得到的图 \(G^*\) 就称作图 \(G\) 的 对偶图（dual graph）．

定理

设图 \(G^*\) 是平面图 \(G\) 的对偶图．那么，图 \(G^*\) 是连通的平面图．而且，图 \(G^{**}\) 与 \(G\) 同构，当且仅当 \(G\) 是连通图．

证明

图 \(G^*\) 是平面图这一点可以由它的构造过程保证．还需要证明图 \(G^*\) 是连通的．对于图 \(G^*\) 中任意两个顶点 \(v^*_i,v^*_j\)，设平面中连接 \(v^*_i\) 和 \(v^*_j\) 的直线段经过图 \(G\) 中的面和边依次为 \(f_i,e_{s_1},f_{s_1},\cdots,f_{s_{r-1}},e_{s_r},f_j\)，它们分别对应对偶图中的顶点和边 \(v_i^*,e_{s_1}^*,v^*_{s_1},\cdots,v^*_{s_{r-1}},e^*_{s_r},v^*_j\)．由图 \(G^*\) 的构造可知，序列中相邻的顶点和边是相关联的，所以，这描述了图 \(G^*\) 中的一条途径．所以，图 \(G^*\) 是连通的．

图 \(G^{**}\) 是图 \(G^*\) 的对偶图，必然是连通的．所以，\(G\) 与 \(G^{**}\) 同构，必要条件是图 \(G\) 连通．接下来，需要证明这一条件也是充分的．为此，只需要证明当图 \(G\) 连通时，图 \(G\) 满足图 \(G^*\) 的对偶图的构造要求．因为图 \(G^*\) 的边和图 \(G\) 的边天然是对应的，所以，只需要证明图 \(G^*\) 的每一个面都恰好包含图 \(G\) 的一个顶点．对于图 \(G^*\) 的任一个面 \(f^*\)，设 \(e^*\) 是它边界上的一条边，那么图 \(G\) 中相对应的边 \(e\) 的端点之一必然在面 \(f^*\) 之内；因此，面 \(f^*\) 中至少存在图 \(G\) 的一个顶点．由于图 \(G^*\) 和图 \(G\) 都是连通的，欧拉公式成立；而图 \(G\) 和图 \(G^*\) 边数相同，图 \(G\) 的面数等于图 \(G^*\) 的顶点数，所以图 \(G\) 的顶点数就等于图 \(G^*\) 的面数．所以，图 \(G^*\) 的每个面都恰好只有图 \(G\) 的一个顶点．命题得证．

平面图与其对偶图的结构之间有很多对应关系：

\(G\) 中的面对应 \(G^*\) 中的点，\(G\) 中的边对应 \(G^*\) 中的边，\(G\) 中的点对应 \(G^*\) 中的面．
\(G\) 中的自环对应 \(G^*\) 中的割边，\(G^*\) 中的自环对应 \(G\) 中的割边．
\(G\) 中的边割集对应 \(G^*\) 中的回路，\(G^*\) 中的回路对应 \(G\) 中的边割集．

需要注意的是，对偶图的概念仅对具体的平面图成立，而无法定义在任意可平面图上．事实上，两个同构的平面图的对偶图未必是同构的．也就是说，同一个图的不同平面嵌入的对偶图可能并不相同．

例子

下图画了两个同构的平面图，它们的对偶图并不同构．

对偶图不同构的原因是，右图有一次面，它的对偶图有一度顶点，而左图没有．

将平面图的问题转化到对偶图上，有时更容易解决．一个典型的例子是，平面图最小割问题可以转化为对偶图最短路问题．设 \(G\) 是带边权的平面图，\(s,t\) 是它的两个顶点，需要求最小的 \(s\)-\(t\) 割．

如图所示，通过选取合适的平面嵌入，总是可以使得 \(s,t\) 出现在图 \(G\) 外部面边界上．另外，添加自 \(s\) 和 \(t\) 延伸出去的射线，将外部面分为两部分 \(f_{+}\) 和 \(f_{-}\)．基于该图，建立对偶图，并将边权赋给对偶图中的对应边．那么，对偶图 \(G^*\) 中面 \(f_{+}\) 和 \(f_{-}\) 对应顶点之间的路径（红色粗线）就和图 \(G\) 的 \(s\)-\(t\) 割（黑色粗线）之间一一对应，且二者权值相同．这样，求解对偶图中的最短路，就得到了对偶图中的最小 \(s\)-\(t\) 割．

判定

本节讨论给定一个图，判定它是不是可平面图的方法．

禁用图

可平面图最经典的刻画方式是利用 禁用图（forbidden graph）给出的．

首先，\(K_5\) 和 \(K_{3,3}\) 不是可平面图．

定理

\(K_5\) 和 \(K_{3,3}\) 不是可平面图．

证明

前文说明，\(|V|\ge 3\) 的简单连通平面图都需要满足

\[ |E| \le \dfrac{l}{l-2}(|V|-2). \]

其中，\(l\) 是面次数的最小值．对于 \(K_5\)，有 \(l=3,~|V|=5,~|E|=10\)，所以 \(K_5\) 不可能画成平面图．对于 \(K_{3,3}\)，有 \(l=4,~|V|=6,~|E|=9\)，所以 \(K_{3,3}\) 不可能画成平面图．

事实上，它们就是使得一个图不可平面的最小结构．也就是说，只要图不（以某种方式）包含这两个图为子结构，该图就一定是可平面的．

第一个可平面性判定定理是 Kuratowski 定理．它用到了图同胚的概念：若两个图 \(G_1\) 与 \(G_2\) 同构，或通过反复插入或消去 \(2\) 度顶点后是同构的，则称二者是 同胚的（homeomorphic）．由此，可以叙述如下结果：

Kuratowski 定理

图 \(G\) 是可平面图，当且仅当 \(G\) 不含与 \(K_5\) 或 \(K_{3,3}\) 同胚的子图．

另外一个与此相关的定理是 Wagner 定理．它利用收缩操作来刻画可平面图．收缩操作是指，重复多次将图的一条边收缩为一个点．由此，可以叙述如下结果：

Wagner 定理

图 \(G\) 是可平面图，当且仅当 \(G\) 中没有可以收缩到 \(K_5\) 或 \(K_{3,3}\) 的子图．

可平面图不包含这些类型的子图相对显然，所以这两个定理的关键部分都在于相应的禁用图条件的充分性．由于与 \(K_5\) 或 \(K_{3,3}\) 同胚的子图一定可以收缩到它们，反过来却未必成立，所以 Kuratowski 定理提供了一个更弱的也更容易检验的判定可平面图的条件．

平面性判定算法

尽管看起来并不容易，平面性判定问题实际上有很多线性算法．但是，由于这些算法的实现通常都比较复杂，它们几乎从未出现在算法竞赛中．

最早的线性算法是 Hopcroft–Tarjan 算法²，但它的实现相当复杂．de Fraysseix–Ossona de Mendez–Rosenstiehl 算法（也称为 LR 平面性算法）³⁴⁵进一步改进了 Hopcroft–Tarjan 算法的流程，是目前最优秀的平面性判定算法之一．Python 的 NetworkX 库中就实现了这一算法．

另外一个同样优秀的算法是 Boyer–Myrvold 算法⁶⁷．它可以在线性时间内判定给定图是否可平面．而且，如果图是可平面的，算法将输出一个平面嵌入；否则，算法将输出一个 Kuratowski 子图（即与 \(K_5\) 或 \(K_{3,3}\) 同胚的子图）．C++ 的 Boost 库就实现了这一算法．

更多相关算法可以参考文末提供的文献．

特殊的平面图

本节介绍几类特殊的可平面图．

极大平面图

对于简单可平面图 \(G\)，如果在它的任意不相邻顶点间添加边，所得图都不再是可平面图，就称 \(G\) 为 极大可平面图（maximal planar graph）．极大可平面图的平面嵌入称为 极大平面图．

定理

极大可平面图 \(G\) 必然连通．而且，当顶点数 \(|V|\ge 3\) 时，图 \(G\) 没有割边．

证明

如果可平面图 \(G\) 不连通，那么任选它的一个平面嵌入，都可以选择属于不同连通分支的两个顶点，在外部面内连接起来，得到的图显然仍然是平面图，这说明图 \(G\) 不是极大可平面图．所以，图 \(G\) 是极大可平面图，就一定连通．

如果可平面图 \(G\) 顶点数 \(|V|\ge 3\)，且 \(G\) 有割边 \(e=(u,v)\)，那么，删去边 \(e\) 后的图 \(G - e\) 中恰有两个连通分支，且 \(u,v\) 属于不同的连通分支．假设 \(v\) 所在连通分支至少有两个顶点．那么，可以先将 \(u\) 所在连通分支 \(G_1\) 画在平面上，并选取图 \(G_1\) 中边界含有 \(u\) 的任意面 \(f\)，并将另一个连通分支 \(G_2\) 画在面 \(f\) 中．由于 \(G_2\) 是简单图，它的外部面的边界一定不是一个自环，故而至少还存在另一个顶点 \(w\neq u,v\)．将 \(v,w\) 分别连接到 \(u\) 上，就得到包含 \(G\) 为子图的平面图．所以，图 \(G\) 不是极大可平面图．因此，顶点数 \(|V|\ge 3\) 的极大可平面图一定没有割边．

极大平面图的结构可以更准确地描述．

定理

对于顶点数 \(|V|\ge 3\) 的平面图 \(G\)，它是极大平面图当且仅当它是简单图，且它的每个面次数均为 \(3\)．

证明

条件的充分性显然．只需要说明必要性，即要证明：顶点数 \(|V|\ge 3\) 的极大平面图 \(G\) 中，每个面次数都是 \(3\)．由于图 \(G\) 是连通简单平面图且 \(|V|\ge 3\)，所以全部面的次数都至少是 \(3\)．所以，假设命题不成立，就一定存在一个面 \(f\) 的边界长度至少是 \(4\)．又因为图 \(G\) 不存在割边，该边界只能是一个环．设这个环是 \(v_1v_2v_3v_4\cdots v_1\)．那么，如果 \(v_1\) 与 \(v_3\) 不相邻，那么在面 \(f\) 内连接 \(v_1\) 和 \(v_3\) 不会破坏平面性，与 \(G\) 的极大性矛盾，所以 \(v_1\) 与 \(v_3\) 相邻；同理，\(v_2\) 与 \(v_4\) 相邻．但是，边 \((v_1,v_3)\) 和 \((v_2,v_4)\) 都不会出现在面 \(f\) 中．这意味着，两条边必然在面 \(f\) 的外部．但这是不可能的：无论如何绘制，这两条边都必然相交．所以，图 \(G\) 中不存在高于 \(3\) 次的面．原命题得证．

推论

对于顶点数 \(|V|\ge 3\) 的图 \(G\)，总是有边数 \(|E|=3|V|-6\) 且面数 \(|F|=2|V|-4\)．

由于极大平面图中，每个面都是由三条边围成，所以极大平面图也称为 平面三角剖分（plane triangulation）．

外平面图

设 \(G\) 为可平面图，若 \(G\) 存在平面嵌入 \(\tilde{G}\)，使得 \(G\) 中所有顶点都在 \(\tilde{G}\) 的一个面的边界上，则称 \(G\) 为 外可平面图（outerplanar graph）．这一嵌入也称为外平面嵌入或 外平面图．通常将边界经过所有顶点的那个面绘制为外部面．

外可平面图都是可平面图，反之未必成立．外可平面图同样可以使用禁用图刻画．

定理

一个图 \(G\) 是外平面图有当且仅当 \(G\) 中不含与 \(K_4\) 或 \(K_{2,3}\) 同胚的子图．

对于外可平面图，同样可以讨论极大外可平面图的概念．对于简单外可平面图 \(G\)，如果在它的任意不相邻顶点间添加边，所得图都不再是外可平面图，就称 \(G\) 为 极大外可平面图（maximal outerplanar graph）．极大外可平面图的外平面嵌入称为 极大外平面图．极大外平面图其实就是平面上多边形的三角剖分．

定理

对于顶点数 \(|V|\ge 3\) 的极大外平面图 \(G\)，且所有顶点都在外部面的边界上，那么图 \(G\) 恰有 \(|V|-2\) 个内部面．

证明

对 \(|V|\) 应用数学归纳法．归纳起点是 \(|V|=3\)．此时，图 \(G\) 是三元环，只有 \(1\) 个内部面，命题成立．假设命题对于 \(|V| = k\) 成立．现在要证明，当 \(|V| = k+1\) 时，命题仍然成立．

首先，图 \(G\) 一定存在 \(2\) 度顶点．否则，除了外部面边界上相邻的顶点外，所有顶点都需要和第三个顶点相连接．不妨将外部面边界上的顶点顺次编号，并对每一个 \(i = 1,2,\cdots,k+1\)，都定义 \(f(i)\) 为与顶点 \(i\) 连接且编号不与之相邻的顶点的最小编号．考虑 \(f(i)\) 的可能取值．首先，\(1 < f(1)\)．由于点 \(1\) 已经和 \(f(1)\) 连接，点 \(2\) 与 \(f(2)\) 的连线不能越过边 \((1,f(1))\)，就必然有 \(1 < 2 < f(2) < f(1)\)．同理，\(2 < 3 < f(3) < f(2)\)．由于顶点只有有限多个，这个逐渐缩小的过程必然在有限步后终止．令 \(i^*\) 为满足 \(1 < \cdots < i-1 < i < f(i) < f(i-1) < \cdots < f(1)\) 的编号 \(i\) 最大值．那么，由于点 \(i^*\) 和点 \(f(i^*)\) 不相邻，必然有 \(i^* < i^* + 1 < f(i^*)\)．而重复之前的论述，仍应该有 \(i^* < i^*+1 < f(i^*+1) < f(i^*)\)，这与 \(i^*\) 的最大性矛盾．这一矛盾说明，图 \(G\) 必然存在 \(2\) 度顶点．

设 \(v\) 就是一个 \(2\) 度顶点．将这一顶点从图 \(G\) 中删除，就得到顶点数为 \(k\) 的外平面图 \(G-v\)．它必然是极大外平面图，否则在它上面合法添加边的方法，必然对图 \(G\) 也适用．由归纳假设，图 \(G-v\) 恰有 \(k-2\) 个内部面，而删去顶点 \(v\) 时，恰好减少了一个图 \(G\) 的内部面．所以，图 \(G\) 内部面数目为 \(k-1\)．命题得证．

定理

对于顶点数 \(|V|\ge 3\) 的外平面图 \(G\)，且所有顶点都在外部面的边界上，那么图 \(G\) 是极大外平面图，当且仅当图 \(G\) 的外部面边界是长为 \(|V|\) 的环，且所有内部面边界均是长为 \(3\) 的环．

证明

充分性显然．事实上，考虑连接外部面边界上的两个不相邻顶点．如果连接发生在外部面中，那么，所有顶点无法都出现在一个面的边界上；否则，它们的连线必然与内部面的边界相交．

接下来，证明必要性．假设图 \(G\) 的外部面边界 \(v_1v_2v_3\cdots v_nv_1~(n = |V|)\) 不是一个环．那么，它会重复经过一个顶点多次，亦即存在 \(i\neq j\) 且 \(i-j\neq\pm 1\pmod{n}\) 使得 \(v_i=v_j\)．不妨设 \(1 < i < j < n\)．此时，与 \(v_{i-1}\) 相关联的边只能出现在回路 \(v_jv_{j+1}\cdots v_nv_1\cdots v_{i-1}v_i\) 围成的有界区域内部，与 \(v_{i+1}\) 相关联的边只能出现在回路 \(v_iv_{i+1}\cdots v_{j-1}v_{j}\) 围成的有界区域内部，所以 \(v_{i-1}\) 和 \(v_{i+1}\) 无法相邻．可以在外部面内添加一条连接 \(v_{i-1}\) 和 \(v_{i+1}\) 的边 \(e\)，得到图 \(G+e\)．这显然也是平面图，且外部面边界上包含所有顶点．这就与图 \(G\) 的极大外平面性矛盾．所以，图 \(G\) 的外部面必然是长度为 \(|V|\) 的环．而图 \(G\) 内部面边界均为长为 \(3\) 的环的原因，和极大平面图一致，不再赘述．

推论

对于顶点数 \(|V|\ge 3\) 的极大外平面图 \(G\)，有：

\(|E|=2|V|-3\)．
\(G\) 中至少有 \(3\) 个顶点度数小于等于 \(3\)，且至少有 \(2\) 个顶点度数为 \(2\)．
\(G\) 的点连通度为 \(2\)．

习题

参考资料与注释

Planar graph - Wikipedia
Planarity testing - Wikipedia
Bondy, John Adrian, and Uppaluri Siva Ramachandra Murty. Graph theory with applications. Vol. 290. London: Macmillan, 1976.
Diestel, Reinhard. Graph theory. Vol. 173. Springer Nature, 2025.
Patrignani, Maurizio. "Planarity Testing and Embedding." (2013): 1-42.

但这并非唯一的可能．两个嵌套的自环也会形成二次面．另外，有二次面未必意味着图不是简单的，例如，一个只有一条边的图中，唯一的面（即外部面）也是二次的． ↩
Hopcroft, John, and Robert Tarjan. "Efficient planarity testing." Journal of the ACM (JACM) 21, no. 4 (1974): 549-568. ↩
De Fraysseix, Hubert, Patrice Ossona De Mendez, and Pierre Rosenstiehl. "Trémaux trees and planarity." International Journal of Foundations of Computer Science 17, no. 05 (2006): 1017-1029. ↩
De Fraysseix, Hubert. "Trémaux trees and planarity." Electronic Notes in Discrete Mathematics 31 (2008): 169-180. ↩
Brandes, Ulrik. "The left-right planarity test." Manuscript submitted for publication 3 (2009). ↩
Boyer, John M., and Wendy J. Myrvold. "Stop Minding Your p's and q's: A Simplified O (n) Planar Embedding Algorithm." In SODA, vol. 99, pp. 140-146. 1999. ↩
Boyer, John M., and Wendy J. Myrvold. "Simplified o (n) planarity by edge addition." Graph Algorithms and Applications 5 (2006): 241. ↩

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性质

面及其次数

欧拉公式

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习题

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