Lý thuyết nhóm

Kiến thức tiền đề: Các khái niệm cơ bản của đại số trừu tượng, Hoán vị và sắp xếp

Dẫn nhập

Lý thuyết nhóm (group theory) chủ yếu nghiên cứu nhóm – một cấu trúc đại số.

Để nghiên cứu cấu trúc của nhóm, cần nắm một số công cụ cơ bản, bao gồm các khái niệm về nhóm con, đồng cấu nhóm và tác động nhóm. Trong lập trình thi đấu, các nhóm thường gặp chủ yếu là nhóm liên quan đến số học (ví dụ nhóm nhân modulo \(n\) của số nguyên \((\mathbf Z/n\mathbf Z)^\times\)) và nhóm hoán vị; bài viết này sẽ tập trung giới thiệu những khái niệm liên quan. Những phần khác của lý thuyết nhóm, chẳng hạn như lý thuyết cấu trúc nhóm hữu hạn và lý thuyết biểu diễn tuyến tính của nhóm, bạn đọc quan tâm nên tham khảo tài liệu chuyên ngành.

Ký hiệu

Khi không gây nhầm lẫn, bài viết có thể viết \(g\cdot h\) thành \(gh\), cũng có thể viết nhóm \((G,\cdot)\) thành nhóm \(G\).

Không thể hiểu đại số trừu tượng tách rời các ví dụ. Để làm ví dụ cho các khái niệm phía dưới, ở đây xét nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\).

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\)

Như hình minh họa, với một tam giác đều cho trước, có tất cả sáu phép biến đổi khác nhau khiến nó trùng với chính nó.

Ở đây, dùng \(r\) để chỉ phép quay theo chiều kim đồng hồ, \(s\) chỉ phép phản xạ qua đường nối đỉnh \(1\) với tâm tam giác; thao tác hợp thành thực hiện từ phải sang trái, tức \(sr\) nghĩa là quay trước (\(r\)) rồi phản xạ (\(s\)). Hai thao tác khác nhau khi và chỉ khi vị trí của một đỉnh của tam giác sau hai thao tác đó khác nhau.

Ký hiệu	Thao tác	Bậc	Biểu diễn hoán vị
\(e\)	Biến đổi đồng nhất, tức không làm gì	1	\((1)\)
\(r\)	Quay theo chiều kim đồng hồ \(120^\circ\)	3	\((123)\)
\(r^2\)	Quay theo chiều kim đồng hồ \(240^\circ\)	3	\((132)\)
\(s\)	Phản xạ qua đường nối \(1\) với tâm	2	\((23)\)
\(sr\)	Quay \(120^\circ\) rồi phản xạ	2	\((13)\)
\(sr^2\)	Quay \(240^\circ\) rồi phản xạ	2	\((12)\)

Dễ thấy các thao tác này thực sự tạo thành một nhóm. Ví dụ, đơn vị của nhóm là \(e\), còn nghịch đảo của \(sr\) chính là nó. Ngoài ra, nhóm \(D_6\) không phải là nhóm giao hoán, có thể kiểm chứng trực tiếp \(rs=sr^{-1}\).

Các thao tác ghi trong bảng không phải là biểu diễn duy nhất của ký hiệu tương ứng. Chẳng hạn, “phản xạ qua đường nối đỉnh \(2\) với tâm” cũng là một thao tác đối xứng của tam giác, không nằm trong bảng, nhưng kết quả giống thao tác “quay \(120^\circ\) rồi phản xạ”. Các khái niệm “bậc” và “biểu diễn hoán vị” trong bảng sẽ được giải thích dưới đây.

Nhóm con

Để hiểu cấu trúc của một nhóm, có thể bắt đầu phân tích các cấu trúc con của nó. Cấu trúc con của nhóm là các tập con của nhóm vẫn là nhóm dưới cùng phép toán. Do đó có định nghĩa sau.

Nhóm con

Với nhóm \((G,\cdot)\) và một tập con \(H\subseteq G\), nếu \((H,\cdot)\) cũng là một nhóm, thì tập con \(H\) được gọi là một nhóm con (subgroup) của \(G\), ký hiệu \(H\le G\).

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Trong \(D_6\), dễ thấy các nhóm con là \(\{e\}\), \(\{e,s\}\), \(\{e,sr\}\), \(\{e,sr^2\}\), \(\{e,r,r^2\}\) và chính \(D_6\), tổng cộng sáu cái. Ngoài nhóm \(D_6\), các nhóm con này đều có cấu trúc đơn giản hơn, đồng thời chứa đựng một phần thông tin về nhóm ban đầu.

Để xác định tập con \(H\subseteq G\) có phải nhóm con hay không, không cần lần lượt kiểm tra định nghĩa nhóm: tính kết hợp đương nhiên đúng; tập con trở thành nhóm con chỉ cần bảo đảm đóng với phép toán hai ngôi, có đơn vị và đóng với phép lấy nghịch đảo. Thực ra, các điều kiện này có thể gom lại.

Định lý (Tiêu chuẩn nhận biết nhóm con)

Tập con \(H\) của nhóm \(G\) là nhóm con khi và chỉ khi với mọi \(g,h \in H\) đều có \(g^{-1}h\in H\).

Nhóm con sinh bởi một tập con

Nói chung, cho tập con \(S\) của nhóm \(G\), bắt đầu từ các phần tử trong \(S\), lặp lại hữu hạn lần phép nhân và lấy nghịch đảo, tất cả kết quả thu được tạo thành một tập hợp là nhóm con của \(G\). Đây gọi là nhóm con sinh bởi tập con \(S\).

Nhóm con sinh bởi một tập con

Với nhóm \(G\) và tập con không rỗng \(S\subseteq G\), nếu \(H\) là nhóm con nhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm) của \(G\) chứa \(S\), thì nhóm con \(H\) được gọi là nhóm con sinh bởi tập con \(S\) (subgroup generated by a subset), ký hiệu \(\langle S\rangle\). Đặc biệt, nếu \(S=\{x\}\) là tập đơn, thì \(\langle S\rangle\) còn viết \(\langle x\rangle\), gọi là nhóm con tuần hoàn sinh bởi lũy thừa của \(x\) (cyclic subgroup of the powers of an element).

Có thể chứng minh, với mỗi tập con \(S\) như vậy, luôn tìm được nhóm con tương ứng: \(\langle S\rangle\) có thể xây dựng bằng giao của tất cả nhóm con của \(G\) chứa \(S\).

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Trong nhóm \(D_6\), chọn phép quay \(r\), lặp lại áp dụng nó và nghịch đảo của nó, thu được nhóm con \(\{e,r,r^2\}\). Có thể viết \(\langle r\rangle\). Tất cả nhóm con không tầm thường của \(D_6\) đều có thể sinh ra bằng cách chọn một thao tác.

Một số tập con sinh ra chính nhóm ban đầu. Những tập con này đặc biệt, gọi là tập sinh của nhóm.

Tập sinh của nhóm

Nếu tập con \(S\subseteq G\) của nhóm \((G,\cdot)\) thỏa \(\langle S\rangle=G\), thì \(S\) được gọi là tập sinh (generating set) của \(G\). Phần tử trong tập sinh \(S\) gọi là phần tử sinh (generator).

Nhóm tự nó là một tập sinh tầm thường. Trường hợp thú vị hơn là tập sinh nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước nhóm.

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Có thể kiểm chứng \(D_6=\langle s,r\rangle\), tức bất kỳ thao tác đối xứng nào của tam giác đều cũng có thể thu được bằng hợp thành quay và phản xạ.

Nhóm tuần hoàn

Nhóm được sinh chỉ bởi một phần tử có cấu trúc rất đơn giản. Nhóm như vậy gọi là nhóm tuần hoàn.

Nhóm tuần hoàn

Với nhóm \(G\), nếu tồn tại \(x\in G\) sao cho \(G=\langle x\rangle\), thì \(G\) được gọi là nhóm tuần hoàn (cyclic group).

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Tất cả các nhóm con không tầm thường của \(D_6\) và cả \(\{e\}\) đều là nhóm tuần hoàn.

Có thể chứng minh, cấu trúc của nhóm tuần hoàn được xác định duy nhất bởi kích thước. Nếu nhóm tuần hoàn vô hạn, nó tất yếu có cấu trúc nhóm giống nhóm cộng của số nguyên \((\mathbf Z,+)\), ký hiệu \(C_\infty\) hoặc \(\mathbf Z\); nếu hữu hạn, với \(n\in\mathbf N_+\) là số phần tử, thì nó tất yếu có cấu trúc nhóm giống nhóm cộng các lớp đồng dư modulo \(n\) \((\mathbf Z/n\mathbf Z,+)\), ký hiệu \(C_n\) hoặc \(\mathbf Z_n\). Phát biểu chặt chẽ này cần dùng khái niệm nhóm đẳng cấu ở dưới, mô tả chính xác hai nhóm có cấu trúc giống hệt.

Định lý phân loại nhóm tuần hoàn

Nhóm tuần hoàn hữu hạn kích thước \(n\) là \(G\) thì đẳng cấu với \(C_n\); nhóm tuần hoàn vô hạn \(G\) đẳng cấu với \(C_\infty\).

Chứng minh

Cho nhóm tuần hoàn \(G=\langle x\rangle\), luôn có \(G=\{x^n:n\in\mathbf Z\}\). Nếu nhóm \(G\) hữu hạn, tất yếu tồn tại số tự nhiên \(n<m\) thỏa \(x^n=x^m\), theo luật khử nhận \(x^{m-n}=e\). Khi đó, chọn số nguyên dương nhỏ nhất \(n\in\mathbf N_+\) sao cho \(x^n=e\), dãy \(\{x^k\}\) sẽ tuần hoàn độ dài \(n\), và các phần tử trong chu kỳ đều khác nhau (nếu không mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của \(n\)). Khi đó, ánh xạ \(x^k\mapsto\bar k\) cho ta đẳng cấu \(G\rightarrow\mathbf Z/n\mathbf Z\), tức \(G\cong C_n\). Ngược lại, nếu nhóm \(G\) vô hạn, các phần tử trong \(G\) đều khác nhau, ánh xạ \(x^k\mapsto k\) cho đẳng cấu \(G\rightarrow\mathbf Z\), tức \(G\cong C_\infty\).

Mọi nhóm tuần hoàn đều là nhóm Abel. Ví dụ \(D_6\) cho thấy, dù tất cả nhóm con không tầm thường đều là tuần hoàn, nhóm gốc vẫn có thể không Abel.

Bậc

Bậc của nhóm là số phần tử của nhóm. Bậc của một phần tử trong nhóm là bậc của nhóm con tuần hoàn do phần tử đó sinh. Từ đó có định nghĩa:

Bậc của nhóm

Bậc (order) của nhóm \(G\) là số phần tử của nó, ký hiệu \(|G|\). Bậc của nhóm vô hạn cũng là vô hạn.

Bậc của phần tử

Bậc (order) của phần tử \(x\in G\) là số nguyên dương nhỏ nhất \(n\) sao cho \(x^n=e\), ký hiệu \(|x|\); nếu không tồn tại \(n\) như vậy, nói rằng bậc của \(x\) là vô hạn, ký hiệu \(|x|=\infty\).

Bậc của phần tử luôn không vượt quá bậc của nhóm; thực tế, dưới đây sẽ chứng minh bậc phần tử luôn chia hết bậc nhóm. Nhưng bậc nhóm không phải luôn bằng bậc lớn nhất của phần tử, ví dụ \(D_6\) là nhóm bậc 6 nhưng bậc phần tử lớn nhất là 3. Bậc nhóm cũng không phải bội chung nhỏ nhất của tất cả bậc phần tử, ví dụ nhóm Klein bốn phần tử¹ \(V_4\) có bậc 4 nhưng chỉ có phần tử bậc 1 và 2.

Định lý

Trong nhóm tuần hoàn hữu hạn \(C_n=\langle x\rangle\), bậc của phần tử \(x^k\) là

\[ \frac{n}{\gcd(k,n)}. \]

Đặc biệt, số phần tử sinh của \(C_n\) là \(\varphi(n)\), với \(\varphi(\cdot)\) là hàm Euler.

Là ứng dụng của thảo luận trên, lưu ý rằng bậc của nhóm nhân modulo \(n\) là \(\varphi(n)\), bậc của bất kỳ phần tử \(a\) trong nhóm đều chia hết giá trị này, do đó tất yếu có \(a^{\varphi(n)}=1\). Đây chính là định lý Euler, bởi các phần tử của nhóm là các số nguyên cùng nguyên tố với \(n\).

Coset (Lớp kề)

Cấu trúc của các phần tử ngoài nhóm con trong nhóm cũng không hỗn loạn.

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Xét nhóm con \(\langle r\rangle\) trong \(D_6\), các phần tử còn lại \(\{s,sr,sr^2\}\) có cấu trúc rất giống \(\langle r\rangle\): mỗi thao tác trong đó đều có thể đạt được bằng hợp thành \(s\) và thao tác trong \(\langle r\rangle\). Tương tự, xét nhóm con \(\langle s\rangle\), các phần tử còn lại của nhóm chia thành hai loại, \(\{r,sr\}\) và \(\{r^2,sr^2\}\), chúng có thể đạt được bằng hợp thành lần lượt với \(r\) và \(r^2\) cùng các phần tử trong \(\langle s\rangle\). Hiện tượng này là phổ quát.

Cho một nhóm con, có thể định nghĩa coset của nó.

Coset

Cho nhóm \(G\) và nhóm con \(H\le G\), coset trái (left coset) và coset phải (right coset) của \(H\) chứa \(g\) lần lượt định nghĩa là

\[ \begin{aligned} gH &= \{gh:h\in H\},\\ Hg &= \{hg:h\in H\}. \end{aligned} \]

Các phần tử trong coset gọi là phần tử đại diện (representative element) của coset đó.

Bản thân nhóm con cũng là một coset của nó. Với một nhóm con, toàn bộ các coset của nó tạo thành một phép phân hoạch của nhóm, tức nhóm là hợp không giao của tất cả coset. Phân hoạch luôn có thể coi như các lớp tương đương của một quan hệ tương đương nào đó. Với phân hoạch coset trái, quan hệ tương đương là \(g_1\sim g_2\) khi và chỉ khi \(g_1^{-1}g_2\in H\); với coset phải, quan hệ tương đương là \(g_1\sim g_2\) khi và chỉ khi \(g_1g_2^{-1}\in H\).

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Dùng ngôn ngữ coset, ví dụ trên, \(D_6\) có thể phân hoạch thành \(\langle r\rangle\cup s\langle r\rangle\) và \(\langle s\rangle\cup \langle s\rangle r \cup \langle s\rangle r^2\). Ở đây, phân hoạch thứ nhất chia nhóm thành các coset trái, phân hoạch thứ hai chia thành các coset phải. Cần lưu ý, chọn phần tử đại diện không có gì đặc biệt, ví dụ có thể kiểm chứng \(s\langle r\rangle=sr\langle r\rangle\). Bất kỳ phần tử nào trong coset cũng đều là phần tử đại diện của coset đó.

Các coset khác nhau của cùng một nhóm con có cùng kích thước, bằng kích thước của nhóm con tương ứng. Vì toàn bộ coset của một nhóm con tạo thành phân hoạch của nhóm, bậc của nhóm hữu hạn tất yếu là bội số nguyên của bậc nhóm con. Đây gọi là định lý Lagrange.

Định lý Lagrange

Với nhóm hữu hạn \(G\) và nhóm con \(H\le G\), có \(|G|=[G:H]|H|\), trong đó \([G:H]\) là số coset trái (phải) của \(H\) trong \(G\), gọi là chỉ số (index) của nhóm con \(H\) trong \(G\).

Chứng minh

Xét ánh xạ nhân trái \(h\mapsto gh\), nó và ánh xạ \(h\mapsto g^{-1}h\) là nghịch đảo của nhau, nên đều là song ánh. Điều này cho thấy \(|H|=|gH|\) luôn đúng.

Lưu ý rằng bậc của phần tử chính là bậc của nhóm con tuần hoàn do phần tử đó sinh, nên bậc phần tử cũng tất yếu chia hết bậc nhóm.

Nhóm con chuẩn tắc

Trong trường hợp chung, coset trái và coset phải của cùng nhóm con không giống nhau.

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Trong nhóm \(D_6\), \(\langle s\rangle r=\{r,sr\}\), nhưng \(r\langle s\rangle=\{r,sr^2\}\). Nhưng nếu xét nhóm con \(\langle r\rangle\), khi đó coset trái và coset phải luôn giống nhau, vì lúc này nhóm chỉ có hai coset, và nhóm con là một coset tất yếu trùng nhau.

Việc coset trái phải có giống nhau hay không phản ánh tính chất của nhóm con tương ứng.

Nhóm con chuẩn tắc

Cho \(N\le G\) là nhóm con của nhóm \(G\), nếu với mọi \(h\in N\) và \(g\in G\) đều thỏa \(ghg^{-1}\in N\), hay nói cách khác với mọi \(g\in G\) đều thỏa \(gNg^{-1}\subseteq N\), thì \(N\) gọi là một nhóm con chuẩn tắc (normal subgroup) của \(G\), ký hiệu \(N\trianglelefteq G\).

Điều kiện trong định nghĩa này tương đương với \(gN=Ng\) luôn đúng. Nhóm \(G\) luôn có nhóm con chuẩn tắc tầm thường, tức \(\langle e\rangle\) và chính \(G\).

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Trong nhóm \(D_6\), \(\langle s\rangle\) không phải nhóm con chuẩn tắc, còn \(\langle r\rangle\) là nhóm con chuẩn tắc.

Thương nhóm

Nhóm con chuẩn tắc rất quan trọng, một lý do là dựa trên nhóm con chuẩn tắc có thể định nghĩa thương nhóm.

Với nhóm \(G\) và nhóm con chuẩn tắc \(N\trianglelefteq G\), xét tập hợp toàn bộ coset

\[ G/N = \{gN:g\in G\}. \]

Lúc này coset trái và phải trùng nhau, không cần phân biệt. Có thể dựa trên phép toán của nhóm \(G\) định nghĩa phép hai ngôi \(\circ\) trên \(G/N\) thỏa

\[ g_1N\circ g_2N=(g_1g_2)N. \]

Có thể chứng minh kết quả phép toán không phụ thuộc chọn phần tử đại diện². Khi đó, \((G/N,\circ)\) thực sự có cấu trúc nhóm, gọi là thương nhóm (quotient group) của \(G\) modulo \(N\). Thương nhóm \(G/N\) không phải nhóm con của \(G\), mỗi phần tử của nó là một tập con của \(G\).

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Trong nhóm \(D_6\), thương nhóm \(G/\langle r\rangle\) có ý nghĩa rất rõ ràng. Nó tương đương với việc trong tất cả các thao tác đối xứng này, bỏ qua góc quay của tam giác, chỉ quan tâm nó có phản xạ hay không. Hợp thành hai thao tác đều phản xạ tam giác thì kết quả tương đương như không phản xạ; nhưng nếu một thao tác phản xạ và thao tác kia không, thì hợp thành tất yếu phản xạ tam giác. Việc có phản xạ hay không cũng có cấu trúc nhóm. Việc bỏ qua chi tiết quay mà chỉ xét có phản xạ hay không chính là lấy thương nhóm \(D_6/\langle r\rangle\). Những luận điểm này không áp dụng cho nhóm con \(\langle s\rangle\), vì nếu bỏ qua việc phản xạ hay không, không thể xác định rõ góc quay, đó là lý do \(G/\langle s\rangle\) không có cấu trúc thương nhóm.

Thương nhóm giúp giản lược nhóm phức tạp, cho phép quan sát một phần cấu trúc nhóm để hiểu nhóm gốc. Đây cũng là lý do thương nhóm còn gọi là nhóm nhân tử (factor group). Nhóm chỉ có nhóm con chuẩn tắc tầm thường, không chứa nhóm con chuẩn tắc khác, gọi là nhóm đơn (simple group), những nhóm này không thể giản lược thành nhóm nhỏ hơn. Giống như số nguyên tố, chúng là nền tảng cấu thành các cấu trúc nhóm phức tạp hơn.

Đồng cấu nhóm

Cách thứ hai để hiểu cấu trúc một nhóm là so sánh cấu trúc của hai nhóm.

Để so sánh hai nhóm, cần xây dựng ánh xạ giữa chúng. Nhưng ánh xạ này không tùy tiện, phải bảo toàn cấu trúc nhóm, tức bảo toàn phép toán nhóm trước và sau ánh xạ. Ánh xạ như vậy gọi là đồng cấu nhóm.

Đồng cấu nhóm

Cho ánh xạ \(\varphi:G\rightarrow H\) giữa nhóm \((G,\cdot)\) và nhóm \((H,\odot)\), nếu \(\varphi\) bảo toàn phép toán nhóm, tức với mọi \(g_1,g_2\in G\) đều thỏa \(\varphi(g_1\cdot g_2)=\varphi(g_1)\odot\varphi(g_2)\), thì \(\varphi\) được gọi là một đồng cấu (homomorphism) từ nhóm \(G\) tới nhóm \(H\).

Đồng cấu nhóm tất yếu ánh xạ đơn vị thành đơn vị, và ánh xạ nghịch đảo thành nghịch đảo.

Ký hiệu

Trong phần sau, nếu không gây nhầm lẫn, sẽ không phân biệt ký hiệu phép toán trong nhóm \(G\) và \(H\), và để đơn giản sẽ lược bỏ các ký hiệu này.

Nhóm đẳng cấu

Với đồng cấu \(\varphi:G\rightarrow H\), câu hỏi tự nhiên là đồng cấu này phản ánh mức độ tương đồng về cấu trúc giữa \(G\) và \(H\) tới đâu. Để trả lời, xét ảnh \(\varphi(G)\) của \(G\) dưới \(\varphi\), nó ánh xạ cấu trúc của \(G\) vào \(H\). Một mặt, \(\varphi(G)\) là nhóm con của \(H\); nhưng nếu \(\varphi\) không toàn ánh, \(\varphi(G)\) khác \(H\). Mặt khác, \(\varphi\) cũng chưa chắc là đơn ánh; nếu không đơn ánh, \(\varphi(G)\) chỉ phản ánh một phần cấu trúc của \(G\). Chỉ khi \(\varphi\) là song ánh, cấu trúc \(G\) và \(H\) mới hoàn toàn trùng khớp. Đồng cấu đặc biệt này gọi là đẳng cấu nhóm.

Đẳng cấu nhóm

Nếu đồng cấu \(\varphi:G\rightarrow H\) giữa hai nhóm \(G\) và \(H\) là song ánh, thì \(\varphi\) gọi là đẳng cấu (isomorphism) giữa \(G\) và \(H\), ký hiệu \(G\cong H\).

Hai nhóm đẳng cấu có cấu trúc hoàn toàn giống nhau. Nếu chỉ quan tâm cấu trúc nhóm, hai nhóm đẳng cấu không cần phân biệt. Định lý phân loại nhóm tuần hoàn trước đó chính là phát biểu theo nghĩa đẳng cấu.

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Trở lại ví dụ trước, mỗi thao tác đối xứng của tam giác đều tương ứng duy nhất với một phép hoán vị trên tập đỉnh. Tập tất cả hoán vị trên tập đỉnh cũng tạo thành nhóm, tức \(S_3\). Dễ thấy ánh xạ \(\varphi:D_6\rightarrow S_3\) thu được như vậy là đồng cấu nhóm; hơn nữa, nó cũng là đẳng cấu. Do đó \(D_6\cong S_3\). Thực tế, nhóm bậc 6 hoặc đẳng cấu với \(C_6\), hoặc đẳng cấu với \(S_3\) (chứng minh xem phần dưới).

Phân loại cấu trúc nhóm hữu hạn với bậc cho trước là nội dung quan trọng của lý thuyết nhóm nhưng ngoài phạm vi bài viết này.

Hạt nhân của đồng cấu

Với đồng cấu nói chung, có thể tiếp tục bàn xem mất bao nhiêu thông tin cấu trúc trong đồng cấu. Tiếp tục ký hiệu như trên. Biết rằng \(\varphi(G)\) là nhóm con của \(H\), giờ mấu chốt là quan hệ giữa \(\varphi(G)\) và \(G\).

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Xét ánh xạ \(\varphi: D_6 \rightarrow C_2 = \langle x\rangle\) định nghĩa:

\[ \varphi(e)=\varphi(r)=\varphi(r^2)=e,\ \varphi(s)=\varphi(sr)=\varphi(sr^2)=x. \]

Dễ thấy \(\varphi\) là đồng cấu nhóm; nó là toàn ánh nhưng không đơn ánh. Ý nghĩa của nó rất rõ: ánh xạ mỗi thao tác đối xứng của tam giác thành thông tin có phản xạ hay không. Thông tin bị nén đi trong \(\varphi\) là thông tin về góc quay. Ví dụ, nếu không có phản xạ, mọi góc quay đều ánh xạ thành đơn vị trong nhóm \(C_2\).

Ví dụ này gợi ý dùng preimage của \(\{e\}\) để đo lường thông tin cấu trúc mất đi trong đồng cấu. Từ đó có định nghĩa sau.

Hạt nhân của đồng cấu

Với đồng cấu \(\varphi:G\rightarrow H\), hạt nhân (kernel) của \(\varphi\) là \(\ker\varphi=\{g\in G:\varphi(g)=e\}\), trong đó \(e\) là đơn vị của \(H\).

Định lý cơ bản về đồng cấu

Hạt nhân \(\ker\varphi\) thực sự khắc họa thông tin cấu trúc mất đi trong đồng cấu. Phát biểu chính xác là định lý cơ bản về đồng cấu (còn gọi định lý đẳng cấu thứ nhất – fundamental theorem of group homomorphism, hay first isomorphism theorem).

Định lý cơ bản về đồng cấu (Định lý đẳng cấu thứ nhất)

Cho đồng cấu \(\varphi:G\rightarrow H\), khi đó \(\ker\varphi\trianglelefteq G\), và \(G/\ker\varphi\cong\varphi(G)\le H\).

Chứng minh

Trước hết, \(N=\ker\varphi\) là nhóm con chuẩn tắc, vì với mọi \(h\in N\) đều có \(\varphi(ghg^{-1})=\varphi(g)\varphi(h)\varphi(g)^{-1}=\varphi(g)\varphi(g)^{-1}=e\), tức \(ghg^{-1}\in\ker\varphi\). Tiếp theo, xét ánh xạ \(\Phi:G/N\rightarrow\varphi(G)\) thỏa \(\Phi(gN)=\varphi(g)\). Ánh xạ là xác định tốt vì nếu \(g_1N=g_2N\) thì \(g_1^{-1}g_2\in N\), suy ra \(\varphi(g_1^{-1}g_2)=e\), tức \(\varphi(g_1)=\varphi(g_2)\). Ánh xạ \(\Phi\) hiển nhiên là toàn ánh; cũng là đơn ánh vì \(\ker\Phi=\{gN:\varphi(g)=e\}=\{N\}\). Do đó \(\Phi\) là đẳng cấu, tức \(G/\ker\varphi\cong\varphi(G)\). Cuối cùng, \(\varphi(g_1)\varphi(g_2)^{-1}=\varphi(g_1g_2^{-1})\in\varphi(G)\), theo tiêu chuẩn nhóm con, \(\varphi(G)\) tất yếu là nhóm con.

Hệ quả

Đồng cấu \(\varphi:G\rightarrow H\) là đơn ánh khi và chỉ khi \(\ker\varphi=\{e\}\). Khi đó \(G\) đẳng cấu với một nhóm con của \(H\), tức \(G\cong\varphi(G)\le H\).

Nói cách khác, hạt nhân của đồng cấu \(\varphi\) là nhóm con chuẩn tắc của \(G\), và thương nhóm \(G/\ker\varphi\) đẳng cấu với ảnh \(\varphi(G)\) của đồng cấu; ảnh này chính là nhóm con của \(H\).

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Đồng cấu \(\varphi: D_6 \rightarrow C_2\) ở trên có hạt nhân là \(\langle r\rangle\), khi thảo luận về nhóm con chuẩn tắc ở trên cũng đã nói \(D_6/\langle r\rangle\) quả thực đẳng cấu với \(C_2\).

Đồng cấu tự nhiên

Kết luận như vậy không bất ngờ. Bởi khi xây dựng đồng cấu \(\varphi: D_6 \rightarrow C_2\), ta chính là tận dụng ý nghĩa hình học của thương nhóm \(D_6/\langle r\rangle\). Hiện tượng này không hiếm. Thực tế, với mỗi thương nhóm, đều có thể xây dựng một đồng cấu sao cho ảnh của đồng cấu đẳng cấu với thương nhóm đã cho.

Đồng cấu tự nhiên

Với nhóm \(G\) và nhóm con chuẩn tắc \(N\trianglelefteq G\), ánh xạ \(\pi(g)=gN\) cho \(\pi: G\rightarrow G/N\) là một đồng cấu toàn từ \(G\) tới \(G/N\) , gọi là đồng cấu tự nhiên (natural homomorphism) hay ánh xạ tự nhiên từ \(G\) tới thương nhóm \(G/N\).

Kết luận này cũng cho thấy, với bất kỳ nhóm con chuẩn tắc nào của một nhóm, đều có thể tìm một đồng cấu tương ứng sao cho hạt nhân của đồng cấu chính là nhóm con chuẩn tắc đó. Định lý cơ bản về đồng cấu ở trên cho thấy hạt nhân của bất kỳ đồng cấu nào cũng là nhóm con chuẩn tắc. Do đó, nhóm con chuẩn tắc và hạt nhân đồng cấu là hai mặt của một vấn đề.

Dùng khái niệm ánh xạ tự nhiên, định lý cơ bản về đồng cấu thực ra nói rằng sơ đồ giao hoán (commutative diagram) sau đây tồn tại.

Tất cả các mũi tên đều là đồng cấu nhóm, với \(N=\ker\varphi\) là hạt nhân của đồng cấu \(\varphi\), \(\varphi(G)\) là ảnh của đồng cấu \(\varphi\). Các ánh xạ lần lượt: \(\pi:g\mapsto gN\) là ánh xạ tự nhiên (đồng cấu toàn) từ \(G\) đến thương nhóm \(G/N\), \(\Phi:gN\mapsto\varphi(g)\) là đẳng cấu, \(\iota\) là ánh xạ nhúng (đồng cấu đơn). Sơ đồ giao hoán nghĩa là hai đường đi khác nhau từ \(G\) đến \(H\) trong sơ đồ cho kết quả hợp thành ánh xạ như nhau, tức \(\varphi=\iota\circ\Phi\circ\pi\). Sơ đồ này minh họa rõ ràng thông tin mất đi trong đồng cấu \(\varphi\) phản ánh trong \(\pi\) và \(\iota\).

Các định lý đẳng cấu của nhóm

Công cụ mạnh để hiểu cấu trúc nhóm là các định lý đẳng cấu. Trước đó đã nêu định lý đẳng cấu thứ nhất. Để đầy đủ, ở đây nêu thêm các định lý đẳng cấu thường gặp khác.

Định lý đẳng cấu thứ hai liên quan đến khái niệm tích của các tập con.

Tích của tập con

Với nhóm \(G\) và các tập con \(A,B\subseteq G\), tích (product) của \(A\) và \(B\) là tập con \(AB=\{ab:a\in A,b\in B\}\).

Tích của hai nhóm con không phải lúc nào cũng là nhóm con. Ví dụ, trong nhóm \(D_6\), nhóm con \(A=\langle s\rangle\) và nhóm con \(B=\langle sr\rangle\) có tích \(AB=\{e,s,r,sr\}\), đây không phải nhóm con của \(G\), vì \((sr)s=r^2\notin AB\). Thực ra, kiểu phản ví dụ \(a\in A\), \(b\in B\) nhưng \(ba\notin AB\) chính là lý do cơ bản khiến tích không phải nhóm con. Với tình huống này có định lý sau.

Định lý

Với nhóm \(G\) và các nhóm con \(A,B\le G\), tích \(AB\) là nhóm con khi và chỉ khi \(AB=BA\).

Chứng minh

Nếu tích \(AB\) là nhóm con, tất yếu \(ba=(a^{-1}b^{-1})^{-1}\in AB\) với mọi \(a\in A\) và \(b\in B\), nên \(BA\subseteq AB\). Ngược lại, nếu \(AB=BA\), thì với mọi \(a_1,a_2\in A\) và \(b_1,b_2\in B\), ta có \((a_1b_1)(a_2b_2)^{-1}=a_1b_1b_2^{-1}a_2^{-1}\in a_1BA=a_1AB=AB\), theo tiêu chuẩn nhóm con, \(AB\) tất yếu là nhóm con.

Định lý đẳng cấu thứ hai (second isomorphism theorem, còn gọi diamond isomorphism theorem) cho một điều kiện đủ đơn giản hơn để tích các nhóm con vẫn là nhóm con, đồng thời xác định cấu trúc của nó.

Định lý đẳng cấu thứ hai

Cho nhóm \(G\) và các nhóm con \(A,B\le G\) thỏa \(A\le N_G(B)\), khi đó \(AB\le G\), và \(B\trianglelefteq AB\), \(A\cap B\trianglelefteq A\), \(AB/B\cong A/(A\cap B)\). Ở đây \(N_G(B)\) là bộ chuẩn hóa của \(B\). Đặc biệt, một điều kiện đủ cho \(A\le N_G(B)\) là \(B\trianglelefteq G\).

Chứng minh

Vì \(A\le N_G(B)\), tất yếu \(aBa^{-1}=B\) với mọi \(a\in A\), tức \(aB=Ba\). Do đó \(AB=BA\), theo định lý trên \(AB\) là nhóm con. Nhóm con \(B\) là nhóm con của \(AB\), coset trái phải trùng nhau nên \(B\trianglelefteq AB\).

Xét ánh xạ \(\varphi:A\rightarrow AB/B\) thỏa \(\varphi(a)=aB\), đây là toàn ánh, hạt nhân \(\ker\varphi=\{a\in A:aB=B\}=A\cap B\). Áp dụng định lý cơ bản về đồng cấu là được.

Định lý đẳng cấu thứ ba (third isomorphism theorem) cho quan hệ tương ứng giữa nhóm con chuẩn tắc của thương nhóm và nhóm con chuẩn tắc của nhóm gốc, cũng như thương nhóm tương ứng. Nó giải thích tính hợp lý của việc tiếp tục phân rã thương nhóm.

Định lý đẳng cấu thứ ba

Cho nhóm \(G\) có các nhóm con chuẩn tắc \(H,K\trianglelefteq G\), và \(H\le K\), thì \(K/H\trianglelefteq G/H\), và \((G/H)/(K/H)\cong G/K\).

Chứng minh

Xét ánh xạ \(\varphi:G/H\rightarrow G/K\) thỏa \(\varphi(gH)=gK\), đây là đồng cấu toàn, hạt nhân \(\ker\varphi=\{gH:g\in K\}=K/H\). Áp dụng định lý cơ bản về đồng cấu là xong.

Kết luận này có thể mở rộng thành định lý đẳng cấu thứ tư, hay định lý tương ứng (correspondence theorem), đưa ra sự tương ứng giữa lưới nhóm con của nhóm và lưới nhóm con của thương nhóm.

Định lý tương ứng

Cho nhóm \(G\) có nhóm con chuẩn tắc \(N\trianglelefteq G\), toàn bộ nhóm con của \(G\) chứa \(N\) \(\mathcal H=\{H:N\subseteq H\subseteq G\}\) và toàn bộ nhóm con của thương nhóm \(G/N\) \(\mathcal S=\{S:S\le G/N\}\) có một song ánh \(\varphi:\mathcal H\rightarrow\mathcal S\) ánh xạ \(H\in\mathcal H\) tới \(H/N\in\mathcal S\). Song ánh này bảo toàn quan hệ bao hàm nhóm con, và nhóm con chuẩn tắc của \(G\) luôn ánh xạ tới nhóm con chuẩn tắc của \(G/N\).

Về nội dung các định lý đẳng cấu

Ở các giáo trình khác nhau, nội dung và tên gọi của các định lý đẳng cấu nhóm có thể khác nhau. Ở đây chọn một phiên bản phổ biến. Wikipedia tổng kết sự khác biệt về nội dung và tên gọi trong các giáo trình thường gặp.

Tác động nhóm

Cách thứ ba để hiểu cấu trúc nhóm là xét tác động của nhóm lên tập hợp.

Ví dụ, nhóm đối xứng không gian của tam giác đều trong bài này được định nghĩa thông qua tác động của phần tử nhóm (tức các thao tác đối xứng) lên tam giác. Lại như nhóm đối xứng \(S_M\) có thể định nghĩa thông qua tác động của phần tử của nó lên tập \(M\). Tác động ở đây nghĩa là mỗi phần tử nhóm tương ứng với một hoán vị trên tập.

Tác động của nhóm lên tập

Cho nhóm \(G\) và tập \(X\) cùng ánh xạ \(G\times X\rightarrow X\), ký hiệu ảnh của \((g,x)\) dưới ánh xạ là \(g\cdot x\), nếu ánh xạ này với mọi \(g_1,g_2\in G\) và \(x\in X\) thỏa \(g_1\cdot(g_2\cdot x)=(g_1g_2)\cdot x\) và \(e\cdot x=x\), thì ánh xạ này gọi là tác động nhóm (group action) của \(G\) trên \(X\).

“Tác động trái” và “tác động phải”

Định nghĩa tác động nhóm ở đây trong vài nơi³ được gọi là tác động trái (left action), vì trong ký hiệu \(g\cdot x\), phần tử nhóm nằm bên trái phần tử tập. Khi đó hợp thành \(g_1g_2\) tác động lên tập, cần làm \(g_2\) trước rồi \(g_1\). Dĩ nhiên, cũng có thể định nghĩa tác động phải, ký hiệu \(x\cdot g\). Khi đó thứ tự hợp thành phần tử nhóm ngược lại, tức \(x\cdot (g_1g_2)=(x\cdot g_1)\cdot g_2\). Hai bên chỉ khác về ký hiệu, không khác về bản chất, nên bài viết mặc định dùng ký hiệu tác động trái.

Với tác động nhóm thỏa định nghĩa trên, tự nhiên có cấu trúc

\[ \begin{aligned} \varphi:{\color{Maroon}{G}}\rightarrow {\color{Orchid}{S_X}}&\\ {\color{Maroon}{g}}\mapsto {\color{Orchid}{\varphi_g}}&: {\color{RoyalBlue}{X}}\rightarrow{\color{YellowGreen}{X}}\\ &\quad {\color{RoyalBlue}{x}}\mapsto {\color{YellowGreen}{g\cdot x}}. \end{aligned} \]

Ánh xạ này, gán mỗi phần tử \(g\) của nhóm \(G\) với một hoán vị \(\varphi_g\) trên tập \(X\), và hoán vị \(\varphi_g\) ánh xạ \(x\) thành \(g\cdot x\).

Theo định nghĩa, đơn vị \(e\) của nhóm tương ứng với song ánh \(\varphi_e\) là ánh xạ đồng nhất trên \(X\), còn ánh xạ \(\varphi_g\) của phần tử \(g\) và ánh xạ \(\varphi_{g^{-1}}\) của nghịch đảo \(g^{-1}\) là nghịch đảo của nhau (điều này cũng giải thích tại sao \(\varphi_g\) luôn là song ánh). Có thể kiểm chứng \(\varphi_{g_1g_2}=\varphi_{g_1}\varphi_{g_2}\), tức \(\varphi\) là đồng cấu nhóm từ \(G\) đến \(S_X\).

Đồng cấu này gọi là biểu diễn hoán vị (permutation representation) của tác động nhóm, nó ánh xạ nhóm \(G\) tới một nhóm hoán vị nào đó.

Nhóm hoán vị

Nếu nhóm \(G\) là nhóm con của một nhóm đối xứng nào đó, thì \(G\) gọi là một nhóm hoán vị (permutation group).

Hạt nhân của đồng cấu này cũng gọi là hạt nhân của tác động nhóm. Nếu hạt nhân này là tầm thường, tức đồng cấu là đơn ánh, thì tác động gọi là trung thành (faithful), nghĩa là biểu diễn hoán vị phản ánh trung thực thông tin cấu trúc của nhóm. Khi đó nhóm \(G\) đẳng cấu với nhóm hoán vị thu được từ biểu diễn.

Ký hiệu

Phần dưới, để tiện trình bày, sẽ lược bỏ ký hiệu “\(\cdot\)” trong tác động nhóm.

Quỹ đạo

Tác động nhóm là ánh xạ hai biến. Giữ cố định phần tử \(g\) trong nhóm, ta được một hoán vị \(\varphi_g\) trên tập. Nếu giữ cố định phần tử \(x\) trong tập, ta được tất cả kết quả tác động của nhóm lên phần tử đó.

Quỹ đạo

Với tác động của nhóm \(G\) trên tập \(X\) và \(x\in X\), quỹ đạo (orbit) của \(x\) dưới tác động của \(G\) là tập con \(Gx=\{gx:g\in G\}\).

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Ví dụ, xét tác động của nhóm \(\langle s\rangle\le D_6\) lên tập đỉnh của tam giác đều, quỹ đạo của đỉnh \(1\) là \(\{1\}\), còn quỹ đạo của đỉnh \(2\) và \(3\) là \(\{2,3\}\). Nhưng tác động của nhóm \(\langle r\rangle\le D_6\) lên tập đỉnh chỉ có một quỹ đạo, tức toàn bộ tập đỉnh.

Dễ chứng minh rằng dưới tác động của \(G\), toàn bộ các quỹ đạo trên tập \(X\) tạo thành một phân hoạch của tập, ký hiệu \(X/G\). Nhưng khác với coset, các quỹ đạo này không nhất thiết có cùng độ dài.

Bộ ổn định

Độ dài quỹ đạo của một phần tử trong tập dưới tác động nhóm phụ thuộc vào số phần tử trong nhóm có hoán vị tương ứng giữ nó cố định.

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Ví dụ, trong tác động của nhóm \(\langle s\rangle\le D_6\), quỹ đạo của đỉnh \(1\) dài 1 vì mọi phần tử trong nhóm đều ánh xạ đỉnh \(1\) về chính nó; còn quỹ đạo của đỉnh \(2\) dài 2 vì chỉ có đơn vị \(e\) ánh xạ đỉnh \(2\) về chính nó.

Điều này gợi ý định nghĩa sau.

Bộ ổn định

Với tác động của nhóm \(G\) trên tập \(X\) và \(x\in X\), bộ ổn định (stabilizer) của \(x\) trong \(G\) là nhóm con \(G_x=\{g\in G:gx=x\}\).

Hạt nhân của tác động nhóm chính là giao của tất cả bộ ổn định của các phần tử trong tập.

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Xét tác động của nhóm \(D_6\) lên tập đỉnh, bộ ổn định của đỉnh \(1\) là \(\{e,s\}=\langle s\rangle\). Đây là nhóm con của \(D_6\). Vì \(D_6\) có thể phân hoạch thành coset trái \(\langle s\rangle\), \(r\langle s\rangle\) và \(r^2\langle s\rangle\), dễ thấy mỗi coset trái cho kết quả tác động lên đỉnh \(1\) giống nhau.

Ví dụ này cho thấy các phần tử trong quỹ đạo tương ứng một-một với các coset trái của bộ ổn định. Điều này dẫn tới kết quả sau.

Định lý

Với tác động của nhóm \(G\) trên tập \(X\), bộ ổn định \(G_x\) của \(x\in X\) là nhóm con của \(G\), và các coset trái của \(G_x\) tương ứng một-một với quỹ đạo \(Gx\).

Chứng minh

Kiểm tra ánh xạ \(gG_x\mapsto gx\) là xác định tốt và song ánh.

Dùng định lý Lagrange, có thể liên hệ độ dài quỹ đạo với số coset của bộ ổn định. Đây là định lý quỹ đạo-bộ ổn định (orbit-stabilizer theorem).

Định lý quỹ đạo-bộ ổn định

Với tác động của nhóm hữu hạn \(G\) trên tập \(X\) và \(x\in X\), có \(|Gx|=[G:G_x]=|G|/|G_x|\).

Có thể kiểm tra kết luận này trong ví dụ trên.

Bổ đề Burnside

Bổ đề này cho công thức số lượng quỹ đạo của tác động nhóm.

Bổ đề Burnside

Với tác động của nhóm \(G\) trên tập \(X\), số quỹ đạo bằng trung bình số điểm bất động của mỗi phần tử trong nhóm, tức

\[ |X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|. \]

Ở đây \(X^g=\{x\in X:gx=x\}\) là tập điểm bất động của phần tử \(g\in G\).

Chứng minh

Chứng minh rất ngắn gọn. Lưu ý số quỹ đạo có thể viết

\[ |X/G|=\sum_{o\in X/G}1=\sum_{x\in X}\frac{1}{|Gx|}=\frac1{|G|}\sum_{x\in X}|G_x|. \]

Dấu bằng cuối cùng là hệ quả ở trên; vế phải và công thức cần chứng minh chỉ khác nhau ở thứ tự cộng (Fubini), vì cả hai đều đếm phần tử của tập \(\{(g,x)\in G\times X:gx=x\}\), chỉ là vế phải cộng theo \(g\) trước, còn công thức cần chứng minh cộng theo \(x\) trước.

Định lý này có nhiều ứng dụng trong tổ hợp, dùng để đếm số lượng đối tượng “khác biệt về bản chất”. Thêm ví dụ và thảo luận xem Đếm Pólya.

Định lý Cayley

Để dùng tác động nhóm nghiên cứu cấu trúc nhóm, cần chọn tập hợp thích hợp. Thực ra, bản thân nhóm chính là một tập như vậy. Do đó xét hai kiểu tác động quen thuộc của nhóm lên chính nó, và qua đó phân tích cấu trúc nhóm.

Tác động thứ nhất là tác động nhân trái (left multiplication) của nhóm lên chính nó. Biểu diễn hoán vị của nó như sau.

\[ \begin{aligned} \varphi:G\rightarrow S_G&\\ g\mapsto \varphi_g&: G\rightarrow G\\ &\quad x\mapsto gx \end{aligned} \]

Tác động nhân trái luôn trung thành, vì nhóm thỏa luật khử. Do đó, theo định lý cơ bản về đồng cấu, \(G\) có thể nhúng vào nhóm đối xứng \(S_G\). Điều này nghĩa là mỗi nhóm đều đẳng cấu với một nhóm hoán vị nào đó⁴.

Định lý Cayley

Nhóm \(G\) đẳng cấu với một nhóm con của nhóm đối xứng \(S_G\).

Tác động nhóm này chỉ có một quỹ đạo, và bộ ổn định của mỗi phần tử đều là \(\{e\}\).

Tác động liên hợp

Tác động thứ hai của nhóm lên chính nó gọi là tác động liên hợp (conjugation). Biểu diễn hoán vị của nó như sau.

\[ \begin{aligned} \varphi:G\rightarrow S_G&\\ g\mapsto \varphi_g&: G\rightarrow G\\ &\quad x\mapsto gxg^{-1} \end{aligned} \]

Dưới tác động liên hợp, quỹ đạo và bộ ổn định có tên gọi đặc biệt.

Lớp liên hợp

Với nhóm \(G\) và \(g\in G\), lớp liên hợp (conjugacy class) của \(g\) trong \(G\) là quỹ đạo của \(g\) dưới tác động liên hợp. Nếu \(g\) và \(h\) nằm trong cùng một lớp liên hợp, nói \(g\) và \(h\) liên hợp (conjugate).

Bộ trung tâm hóa

Với nhóm \(G\) và \(a\in G\), bộ trung tâm hóa (centralizer) của \(a\) trong \(G\) là \(C_G(a)=\{g\in G:ga=ag\}\).

Tâm

Với nhóm \(G\), tâm (center) của \(G\) là \(Z(G)=\cap_{a\in G}C_G(a)=\{g\in G:\forall a\in G(ga=ag)\}\).

Tâm của nhóm là tập các phần tử giao hoán với mọi phần tử trong nhóm; vì là hạt nhân của tác động, nó tất yếu là nhóm con chuẩn tắc. Kích thước của tâm phản ánh độ “xa” so với nhóm giao hoán. Bộ trung tâm hóa của một phần tử là tập tất cả phần tử giao hoán với phần tử đó; cũng là nhóm con lớn nhất trong tất cả nhóm con chứa nó trong tâm; đồng thời vì là bộ ổn định dưới tác động liên hợp, nó là nhóm con. Lớp liên hợp nói chung không phải nhóm con.

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Quay lại nhóm \(D_6\), tâm của nó là \(\{e\}\neq G\), cho thấy nó không phải nhóm giao hoán. Bộ trung tâm hóa \(C_G(r)\) của phần tử \(r\) là \(\langle r\rangle\), bộ trung tâm hóa \(C_G(s)\) của phần tử \(s\) là \(\langle s\rangle\). Nói chung với mọi \(g\in G\), luôn có \(\langle g\rangle\le C_G(g)\). Các lớp liên hợp của \(D_6\) tổng cộng ba, là \(\{e\},\{r,r^2\},\{s,sr,sr^2\}\). Dễ thấy các phần tử liên hợp có cùng bậc⁵.

Nhóm dưới tác động liên hợp phân chia thành nhiều lớp liên hợp. Có thể viết phương trình lớp (class equation).

Phương trình lớp

Với nhóm \(G\), giả sử \(\{\mathcal K_i\}_{i=1}^r\) là toàn bộ các lớp liên hợp có độ dài lớn hơn một, và \(g_i\) là đại diện của \(\mathcal K_i\), thì

\[ |G|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^r[G:C_G(g_i)]. \]

Có thể dùng nó phân tích cấu trúc nhóm, ví dụ để chứng minh định lý Sylow dưới đây.

Bộ chuẩn hóa và bộ trung tâm hóa

Thực ra, tập lũy thừa của nhóm cũng có thể là đối tượng của tác động nhóm. Ở đây tập trung bàn tác động liên hợp của nhóm lên toàn bộ tập con \(X=\mathcal P(G)\). Biểu diễn hoán vị của nó như sau.

\[ \begin{aligned} \varphi:G\rightarrow S_X&\\ g\mapsto \varphi_g&: X\rightarrow X\\ &\quad S\mapsto gSg^{-1} = \{gsg^{-1}:s\in S\} \end{aligned} \]

Dưới tác động liên hợp này, tương tự có thể định nghĩa lớp liên hợp của tập con. Hạt nhân của nó vẫn là tâm của nhóm. Bộ ổn định của nó gọi là bộ chuẩn hóa.

Bộ chuẩn hóa

Với nhóm \(G\) và tập con \(S\subseteq G\), bộ chuẩn hóa (normalizer) của \(S\) trong \(G\) là \(N_G(S)=\{g\in G:gSg^{-1}=S\}\).

Bộ chuẩn hóa là bộ ổn định của \(S\) dưới tác động liên hợp, tất yếu là nhóm con của \(G\); bộ chuẩn hóa của \(S\) là nhóm con lớn nhất có chứa \(S\) như một nhóm con chuẩn tắc, đó là nguồn gốc tên gọi. Đặc biệt, với tập đơn \(\{a\}\), \(N_G(\{a\})=C_G(a)\).

Bộ trung tâm hóa cũng có thể mở rộng tương tự cho tập con.

Bộ trung tâm hóa

Với nhóm \(G\) và tập con \(S\subseteq G\), bộ trung tâm hóa (centralizer) của \(S\) trong \(G\) là \(C_G(S)=\{g\in G:\forall s\in S(gsg^{-1}=s)\}\).

Bộ trung tâm hóa thực chất là hạt nhân của tác động liên hợp của nhóm \(N_G(S)\) lên \(S\). Do đó tất yếu \(C_G(S)\trianglelefteq N_G(S)\le G\), nên nhờ tính bắc cầu của nhóm con, bộ trung tâm hóa cũng là nhóm con. Đặc biệt, tâm của nhóm \(Z(G)=C_G(G)\trianglelefteq N_G(G)=G\) tất yếu là nhóm con chuẩn tắc.

Định lý Sylow

Tiếp tục phân tích tác động liên hợp của nhóm hữu hạn, ta có thể thu được định lý Sylow. Đây là công cụ mạnh xử lý cấu trúc nhóm hữu hạn, có thể nhanh chóng thu được cấu trúc của nhiều nhóm bậc nhỏ.

Nhóm \(p\)

Với nhóm \(G\), nếu tồn tại số nguyên tố \(p\) và số nguyên dương \(\alpha\) sao cho \(|G|=p^\alpha\), thì \(G\) gọi là nhóm \(p\) (\(p\)-group).

Về định nghĩa nhóm \(p\)

Nhóm \(p\) còn một định nghĩa khác, là nhóm có bậc mọi phần tử đều là lũy thừa của số nguyên tố. Với nhóm hữu hạn, hai định nghĩa tương đương; nhưng định nghĩa thứ hai cũng áp dụng được cho nhóm vô hạn. Ngoài ra, về định nghĩa nhóm \(p\), tài liệu khác nhau có thể khác nhau ở việc có tính \(\{e\}\) là nhóm \(p\) hay không, khi đọc cần phân biệt.

Nhóm con \(p\)

Với nhóm \(G\) và nhóm con \(P\le G\), nếu bản thân \(P\) là nhóm \(p\), thì \(P\) gọi là nhóm con \(p\) (\(p\)-subgroup).

Định lý Cauchy

Nếu số nguyên tố \(p\) chia bậc của nhóm \(G\), thì tất yếu tồn tại phần tử bậc \(p\).

Định lý Cauchy đảm bảo tồn tại nhóm con \(p\). Thực ra, phân tích tỉ mỉ hơn cho kết luận mạnh hơn, tức sự tồn tại của nhóm con Sylow \(p\).

Nhóm con Sylow \(p\)

Với nhóm \(G\) và nhóm con \(P\le G\), nếu \(|G|=p^\alpha m\), \(p\perp m\) và \(|P|=p^\alpha\), thì \(P\) gọi là nhóm con Sylow \(p\) (Sylow \(p\)-subgroup).

Tức nhóm con Sylow \(p\) là nhóm con \(p\) cực đại. Định lý Sylow khẳng định sự tồn tại của nhóm con Sylow \(p\), cung cấp “một nửa” đảo của định lý Lagrange.

Định lý Sylow

Cho nhóm hữu hạn \(G\) có bậc \(|G|\) có thể viết thành \(p^\alpha m\), trong đó \(p\) là số nguyên tố và \(p\) không chia \(m\), khi đó:

1. Tồn tại nhóm con Sylow \(p\);
2. Với một nhóm con Sylow \(p\) \(P\) và một nhóm con \(p\) \(Q\) của \(G\), tồn tại \(g\in G\) sao cho \(Q\le gPg^{-1}\), đặc biệt mọi nhóm con Sylow \(p\) đều liên hợp;
3. Số lượng nhóm con Sylow \(p\) \(n_p\) trong \(G\) thỏa \(n_p\equiv 1\pmod p\), \(n_p\mid m\) và \(n_p=[G:N_G(P)]\), trong đó \(P\) là nhóm con Sylow \(p\) bất kỳ.

Chứng minh

Để chứng minh phần một, dùng quy nạp theo \(|G|\). Xét phương trình lớp

\[ |G|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^r[G:C_G(g_i)]. \]

Nếu \(p\mid|Z(G)|\), thì có thể chọn nhóm con bậc \(p\) của tâm \(N\le Z(G)\), tất yếu \(N\trianglelefteq Z(G)\trianglelefteq G\), do đó \(G/N\) là nhóm nhỏ hơn. Theo giả thuyết quy nạp, \(G/N\) có nhóm con Sylow \(p\) là \(P/N\), ánh xạ ngược dưới đồng cấu tự nhiên cho nhóm con \(P\) chính là nhóm con Sylow \(p\) của \(G\). Thế là chỉ cần xét trường hợp \(p\) không chia \(|Z(G)|\). Khi đó có thể chọn \(g_i\in G\) sao cho \(p\) không chia \([G:C_G(g_i)]\), do đó mọi lũy thừa của \(p\) trong \(|G|\) đều nằm trong \(|C_G(g_i)|\). Lại theo giả thuyết quy nạp, \(|C_G(g_i)|\) có nhóm con Sylow \(p\) là \(P\), chính là nhóm con Sylow \(p\) của \(G\).

Để chứng minh phần hai và ba, lấy nhóm con Sylow \(p\) \(P\) của \(G\), lớp liên hợp của nó là \(\mathcal S=\{gPg^{-1}:g\in G\}\), xét tác động liên hợp của \(G\) lên \(\mathcal S\) rồi hạn chế lên một nhóm con \(p\) \(Q\). Tập \(\mathcal S\) dưới tác động này được chia thành nhiều quỹ đạo. Giả sử có \(r\) quỹ đạo, đại diện mỗi quỹ đạo là \(P_i\), có đẳng thức

\[ |\mathcal S|=\sum_{i=1}^r[Q:Q\cap N_G(P_i)]. \]

Ở đây \(Q\cap N_G(P_i)\) là bộ ổn định của \(P_i\) trong tác động trên. Gọi \(H=Q\cap N_G(P_i)\), thì hiển nhiên \(H\le N_G(P_i)\), theo định lý đẳng cấu thứ hai, \(P_iH/P_i\cong H/(P_i\cap H)\). Vậy \(|P_iH|=|P_i||H|/|P_i\cap H|\), vế phải là lũy thừa của \(p\), vế trái tất yếu cũng là lũy thừa của \(p\), và cần \(|P_i|\le |P_iH|\). Nhưng \(P_i\) đã là nhóm con có lũy thừa \(p\) lớn nhất trong \(G\), nên \(P_i=P_iH\). Thay vào đẳng cấu trên, được \(H=P_i\cap H=Q\cap P_i\). Dùng quan hệ hiển nhiên \(P_i\le N_G(P_i)\). Như vậy, bộ ổn định \(Q\cap N_G(P_i)\) thực chất là \(Q\cap P_i\). Do đó, công thức trên có thể viết

\[ |\mathcal S|=\sum_{i=1}^r[Q:Q\cap P_i]. \]

Đẳng thức này đúng với mọi nhóm con \(p\) \(Q\).

Dĩ nhiên, nhóm con Sylow \(p\) \(P\) cũng là nhóm con \(p\). Thay \(P\) vào vị trí \(Q\) trong công thức, vế phải chỉ có một hạng tử bằng 1, còn lại đều là bội của \(p\). Do đó, kích thước lớp liên hợp \(|\mathcal S|\) của nhóm con Sylow \(p\) \(P\) tất yếu \(|\mathcal S|\equiv 1\pmod p\). Đồng thời, vì công thức đúng với mọi nhóm con \(p\) \(Q\), nên tồn tại \(g\in G\) sao cho \(Q\le gPg^{-1}\); nếu không, với mọi \(P_i\) trong công thức đều có \(|Q\cap P_i|<|Q|\), mâu thuẫn \(|\mathcal S|\equiv 1\pmod p\). Nếu giờ xét \(Q\) là nhóm con Sylow \(p\) khác \(P\), tất yếu \(Q=gPg^{-1}\) với một \(g\in G\), tức mọi nhóm con Sylow \(p\) đều liên hợp. Vì vậy số lượng nhóm con Sylow \(p\) \(n_p\) chính là \(|\mathcal S|\), tất yếu \(n_p\equiv 1\pmod p\). Cuối cùng, lưu ý \(n_p=|\mathcal S|=[G:N_G(P)]\), và \(P\le N_G(P)\), nên \(n_p\mid m\). Đến đây chứng minh xong phần hai và ba.

Ứng dụng: Theo nghĩa đẳng cấu, nhóm bậc 6 chỉ có \(C_6\) và \(S_3\)

Giả sử \(G\) có bậc 6. Theo định lý Sylow, nó có nhóm con Sylow 2, số lượng thỏa \(n_2\equiv 1\pmod 2\) và \(n_2\mid 3\), nên chỉ có hai khả năng: \(n_2=1\) hoặc \(n_2=3\). Tương tự, có thể chứng minh \(G\) có đúng một nhóm con Sylow 3, tức \(n_3=1\).

Trường hợp \(n_2=1\), có một nhóm con Sylow 2 trong \(G\), do đó có một phần tử bậc 2; có một nhóm con Sylow 3, do đó có hai phần tử bậc 3. Nhóm \(G\) còn một đơn vị, còn lại theo định lý Lagrange, bậc của nó phải chia hết 6. Không thể là phần tử bậc 2 hay 3 mới, nếu không sẽ xuất hiện nhóm con Sylow \(p\) mới khác. Vậy phần tử còn lại phải có bậc 6. Tồn tại phần tử có bậc bằng bậc nhóm nghĩa là nhóm \(G\) là nhóm tuần hoàn, nên \(G\cong C_6\).

Trường hợp \(n_2=3\), nhóm \(G\) có ba nhóm con Sylow 3 liên hợp. Xét tác động liên hợp của \(G\) lên ba nhóm con Sylow 3 này. Với bất kỳ nhóm con Sylow 3 \(P\), theo định lý Sylow, \(|N_G(P)|=2\); nhưng \(P\le N_G(P)\), suy ra \(P=N_G(P)\). Vì thế giao của các bộ chuẩn hóa của ba nhóm con Sylow 3, tức hạt nhân của tác động liên hợp này, là tầm thường. Vậy tác động là trung thành, nó nhúng \(G\) vào nhóm hoán vị \(S_3\) trên ba nhóm con Sylow 3. Nhưng vì \(|G|=|S_3|\), tất yếu \(G\cong S_3\).

Nhóm Abel sinh hữu hạn

Sau khi nắm các công cụ cơ bản phân tích cấu trúc nhóm, giờ tập trung bàn cấu trúc của một lớp nhóm.

Trong phần tổng quan đã nhắc, nhóm Abel vì các phần tử giao hoán nên cấu trúc đơn giản hơn các nhóm khác. Đặc biệt đơn giản là các nhóm Abel có thể sinh bởi hữu hạn phần tử.

Hữu hạn sinh

Nếu nhóm \(G\) có một tập sinh hữu hạn, thì \(G\) được gọi là hữu hạn sinh (finitely generated).

Định lý phân loại trong mục này cho thấy nhóm Abel hữu hạn sinh có thể xem như tổ hợp đơn giản của hữu hạn nhóm tuần hoàn. Trong lập trình thi đấu, các nhóm liên quan chủ yếu là nhóm hữu hạn. Nhóm Abel hữu hạn tất yếu hữu hạn sinh, nên luôn áp dụng được kết quả này.

Tích trực tiếp

Trước đây ta chủ yếu phân tích nhóm bằng cách phân tách nhóm thành nhóm nhỏ hơn; ngược lại, tự nhiên có thể hỏi làm sao kết hợp hai nhóm thành nhóm lớn hơn. Trong mọi cách kết hợp, tích trực tiếp của nhóm là đơn giản nhất.

Ý tưởng cơ bản của tích trực tiếp: cho hai nhóm \(G\) và \(H\), xét tích Descartes \(G\times H\), định nghĩa phép toán trên cặp \((g,h)\) bằng cách thực hiện phép toán trên từng thành phần riêng biệt, các thành phần không ảnh hưởng nhau. Kết quả rõ ràng là nhóm lớn hơn, và hai nhóm ban đầu có thể nhúng vào nhóm mới một cách hiển nhiên.

Tích trực tiếp

Tích trực tiếp (direct product) của nhóm \((G,\cdot_G)\) và nhóm \((H,\cdot_H)\) là nhóm \((G\times H,\cdot)\), trong đó phép hai ngôi \(\cdot:(G\times H)\times(G\times H)\rightarrow G\times H\) định nghĩa \((g_1,h_1)\cdot(g_2,h_2)=(g_1\cdot_G g_2,h_1\cdot_H h_2)\). Tích trực tiếp của \(G\) và \(H\) ký hiệu \(G\times H\).

Với tích trực tiếp \(G\times H\), hiển nhiên có ánh xạ nhúng \(g\mapsto(g,e_H)\) và \(h\mapsto(e_G,h)\). Ngược lại, ánh xạ \((g,h)\mapsto g\) và \((g,h)\mapsto h\) là đồng cấu nhóm, hạt nhân tương ứng là \(\{e_G\}\times H\) và \(G\times\{e_H\}\). Hai hạt nhân này chính là ảnh của ánh xạ nhúng trên, và giao của chúng là tầm thường, tức \(\{(e_G,e_H)\}\). Do đó trong tích trực tiếp \(G\times H\) có hai nhóm con, đều là nhóm con chuẩn tắc, giao tầm thường, và tích của chúng chính là \(G\times H\).

Phân tích này thực ra cho điều kiện cần và đủ để một nhóm viết thành tích trực tiếp của hai nhóm con của nó.

Định lý

Với nhóm \(G\) và các nhóm con \(H_1,H_2\le G\), \(G\cong H_1\times H_2\) khi và chỉ khi \(H_1,H_2\trianglelefteq G\), \(H_1\cap H_2=\{e\}\) và \(G=H_1H_2\).

Chứng minh

Tính cần thiết đã bàn trong phần chính, ở đây chứng minh tính đủ. Xét ánh xạ \(\varphi:G\rightarrow H_1\times H_2\) thỏa \(h_1h_2\mapsto(h_1,h_2)\). Ánh xạ \(\varphi\) xác định tốt vì với mọi \(h_1,k_1\in H_1\) và \(h_2,k_2\in H_2\), \(h_1h_2=k_1k_2\) dẫn đến \(h_1=k_1\) và \(h_2=k_2\); vì \(k_1^{-1}h_1=k_2h_2^{-1}\in H_1\cap H_2=\{e\}\). Để chứng minh \(\varphi\) là đồng cấu, cần chỉ ra \((h_1h_2)(k_1k_2)=h_1k_1h_2k_2\), tương đương \(k_1\) và \(h_2\) giao hoán, tức \(k_1h_2k_1^{-1}h_2^{-1}=e\). Để chứng minh quan hệ này, lưu ý \(k_1h_2k_1^{-1}h_2^{-1}=(k_1h_2k_1^{-1})h_2^{-1}\in (k_1H_2k_1^{-1})H_2=H_2\), tương tự cũng có \(k_1(h_2k_1^{-1}h_2^{-1})\in H_1\), suy ra \(k_1h_2k_1^{-1}h_2^{-1}\in H_1\cap H_2=\{e\}\). Những điều này chứng minh \(\varphi\) là đồng cấu. Nó rõ ràng là song ánh, nên là đẳng cấu, tức \(G\cong H_1\times H_2\).

Trong tích trực tiếp, các phần tử của hai thừa số trực tiếp tất yếu giao hoán, vì \(hg=(e_G,h)(g,e_H)=(g,h)=gh\). Do đó, nếu hai thừa số trực tiếp đều là nhóm Abel, tích trực tiếp cũng là nhóm Abel.

Không phải mọi nhóm đều có thể viết thành tích trực tiếp của hai nhóm con không tầm thường.

Ví dụ: Nhóm đối xứng không gian của tam giác đều \(D_6\) (tiếp)

Ví dụ, nhóm \(D_6=\langle r,s\rangle\) không đẳng cấu với \(\langle r\rangle\times\langle s\rangle\), vì tích trực tiếp của hai nhóm tuần hoàn tất yếu là nhóm Abel.

Định lý phân loại dưới đây cho thấy nhóm Abel hữu hạn sinh đều có thể viết thành tích trực tiếp của hữu hạn nhóm tuần hoàn.

Định lý phân loại

Với nhóm Abel hữu hạn sinh, có định lý phân loại sau. Nó gọi là định lý cơ bản của nhóm Abel hữu hạn sinh (fundamental theorem of finitely generated Abelian groups).

Định lý cơ bản của nhóm Abel hữu hạn sinh

Với nhóm Abel hữu hạn sinh \(G\), tồn tại \(r\ge0\) và \(n_1,\cdots,n_s\ge 2\) sao cho

\[ G\cong C_\infty^r\times C_{n_1}\times\cdots\times C_{n_s}. \]

Đặc biệt, \(r\) được xác định duy nhất, gọi là hạng (rank) của \(G\), và

• Có thể chọn \(n_1,\cdots,n_s\) sao cho \(n_1\ge2,\ n_1|n_2,\ \cdots,\ n_{s-1}|n_s\), khi đó \(n_1,\cdots,n_s\) xác định duy nhất, các thừa số \(C_{n_i}\) gọi là thừa số bất biến (invariant factor) của \(G\);
• Cũng có thể chọn \(n_1,\cdots,n_s\) sao cho chúng đều là lũy thừa số nguyên tố, khi đó các lũy thừa này cũng xác định duy nhất, các thừa số \(C_{n_i}\) gọi là thừa số sơ cấp (elementary divisor) của \(G\).

Định lý trước hết khẳng định nhóm Abel hữu hạn sinh chắc chắn là tích trực tiếp của hữu hạn nhóm tuần hoàn.

Chứng minh

Ở đây đưa ra một chứng minh hình thức đơn giản⁶; chứng minh sâu sắc hơn nên tham khảo định lý cấu trúc mô-đun hữu hạn sinh trên vành chính⁷. Trong chứng minh, để đơn giản ký hiệu, dùng ký hiệu cộng thay cho phép nhân trong nhóm, khi đó \(0\) là đơn vị, và ký hiệu \(mx\) là lũy thừa bậc \(m\) của \(x\).

Giả sử \(G\) có thể sinh bởi tối thiểu \(k\) phần tử. Cần quy nạp theo \(k\). Khi \(k=1\) kết luận hiển nhiên. Khi \(k>1\), chọn trong bộ sinh \(\langle x_1,x_2,\cdots,x_k\rangle\) của \(G\) phần tử \(x_1\) có bậc nhỏ nhất. Cần chỉ ra \(G=\langle x_1\rangle\times\langle x_2,\cdots,x_k\rangle\), vế sau theo giả thuyết quy nạp đã phân rã được thành tích trực tiếp \((k-1)\) nhóm tuần hoàn, nên bước quy nạp hoàn thành.

Theo tiêu chuẩn tích trực tiếp, nếu phân rã không đúng, tất yếu tồn tại quan hệ \(m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_kx_k=0\) với \(m_1x_1\neq 0\). Với hệ số \(m_i\) âm, có thể thay \(x_i\) bằng nghịch đảo \(-x_i\), khi đó tất cả hệ số \(m_i\) đều có thể lấy là số nguyên không âm. Hơn nữa, có thể chọn \(0< m_1 <|x_1|\). Nếu đặt \(d=\gcd(m_1,m_2,\cdots,m_k)\) và \(c_i=m_i/d\), tất yếu có \(y_1=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_kx_k\) thỏa \(dy_1=0\), do đó \(|y_1|\le d\le m_1< |x_1|\), tức \(y_1\) là phần tử có bậc nhỏ hơn \(x_1\).

Tiếp theo chứng minh \(y_1\) có thể bổ sung thành một bộ sinh của \(G\). Tức tồn tại \(y_2,\cdots,y_k\in G\) sao cho \(G=\langle y_1,y_2,\cdots,y_k\rangle\). Điều kiện duy nhất đã biết là \(y_1\) có thể viết \(c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_kx_k\), trong đó hệ số \(c_i\) đều là số tự nhiên và ước chung lớn nhất của chúng là 1. Không mất tính tổng quát, giả sử các hệ số sắp xếp không tăng, thì \(y_1\) cũng có thể viết \((c_1-c_2)x_1+c_2(x_1+x_2)+\cdots+c_kx_k\). So với điều kiện trước, ta thấy hệ số vẫn là số tự nhiên, ước chung lớn nhất vẫn là 1, và \(G=\langle x_1,x_1+x_2,x_3,\cdots,x_k\rangle\), nhưng tổng hệ số giảm \(c_2\). Nếu \(c_2=0\), tất yếu \(c_1=1\), kết luận hiển nhiên; nếu không, tổng hệ số giảm nghiêm ngặt. Điều này nghĩa là nếu quy nạp theo tổng hệ số, có thể chứng minh mọi \(y_1\) thỏa điều kiện trên đều có thể bổ sung thành bộ sinh của \(G\).

Khi đó đã tìm được phần tử sinh \(y_1\) có bậc nhỏ hơn \(x_1\), mâu thuẫn với cách chọn \(x_1\). Do đó phân rã tích trực tiếp tất yếu đúng, theo nguyên lý quy nạp kết luận cần chứng minh được chứng minh.

Dĩ nhiên, nhóm tuần hoàn có thể vô hạn hoặc hữu hạn, chúng lần lượt tương ứng với phần \(C_\infty\) và \(C_{n_i}\) trong phân rã. Tiếp theo, định lý cho cấu trúc của nhóm tuần hoàn hữu hạn \(C_n\). Phần phân rã thừa số sơ cấp trong định lý thực ra dựa trên quan sát sau.

Bổ đề

Nếu \(m\) và \(n\) nguyên tố cùng nhau, thì \(C_{mn}\cong C_m\times C_n\).

Chứng minh

Gọi \(x\) và \(y\) là phần tử sinh của \(C_m\) và \(C_n\), vì \((m,n)=1\), nên \(|(x,y)|=mn=|C_m\times C_n|\). Vậy \((x,y)\) là phần tử sinh của \(C_m\times C_n\), tức \(C_m\times C_n=\langle(x,y)\rangle\). Nó là nhóm tuần hoàn bậc \(mn\), tất yếu đẳng cấu với \(C_{mn}\).

Cho nhóm tuần hoàn \(C_{n}\), nếu theo định lý cơ bản số học có \(n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}\), lặp lại dùng bổ đề trên có thể chứng minh \(C_n=C_{p_1^{r_1}}\times\cdots\times C_{p_k^{r_k}}\). Sau hai bước phân rã này, thực chất ta đã có phân rã thừa số sơ cấp trong định lý. Dùng bổ đề, gom lại các nhóm tuần hoàn bậc lũy thừa số nguyên tố sao cho bậc của chúng thỏa yêu cầu, sẽ được phân rã thừa số bất biến trong định lý. Tính duy nhất trong định lý có thể chứng minh bằng quy nạp.

Ví dụ: Phân loại các nhóm Abel bậc 24

Ví dụ, dùng định lý có thể biết tất cả nhóm Abel bậc 24 có ba loại, liệt kê như sau.

Phân rã thừa số bất biến	Phân rã thừa số sơ cấp
\(C_{24}\)	\(C_{3}\times C_{8}\)
\(C_{2}\times C_{12}\)	\(C_2\times C_{3}\times C_4\)
\(C_2\times C_2\times C_6\)	\(C_2\times C_2\times C_2\times C_3\)

Tài liệu tham khảo và chú thích

• Dummitt, D.S. and Foote, R.M. (2004) Abstract Algebra. 3^rd Edition, John Wiley & Sons, Inc.
• Milne, J.S. (2021) Group Theory.
• Group (mathematics) - Wikipedia
• Group theory - Wikipedia
• Group - Wolfram MathWorld
• Visual Group Theory

---

1. Nhóm này có thể biểu diễn thành nhóm hoán vị \(\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}\), cũng có thể viết \(C_2\times C_2\). ↩

2. Với nhóm con tổng quát \(H\le G\), cũng có thể thử định nghĩa phép toán tương tự trên toàn bộ coset trái (phải). Nhưng phép toán như vậy xác định tốt khi và chỉ khi \(H\) là nhóm con chuẩn tắc của \(G\). ↩

3. Ví dụ Group action - Wikipedia. ↩

4. Bản thân định lý Cayley không phản ánh nhiều thông tin về cấu trúc nhóm, vì nhóm \(S_G\) thường rất lớn, khó nói nhóm con của nó bậc bằng \(|G|\) có tính chất gì xác định. Nhưng giai đoạn đầu phát triển của lý thuyết nhóm chủ yếu xoay quanh nhóm hoán vị. Vì vậy định lý Cayley thực ra nói rằng mọi cấu trúc nhóm khả dĩ đều nằm trong những đối tượng đã được nghiên cứu kỹ này, dù khi nghiên cứu thực tế cần công cụ tinh vi hơn. ↩

5. Tổng quát hơn, các phần tử liên hợp trong nhóm hoán vị tất yếu có cùng dạng. ↩

6. Xem Milne, J.S. (2021) Group Theory trang 25. ↩

7. Xem Structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain - Wikipedia. ↩

---

Last updated on this page:, Update history
Found an error? Want to help improve? Edit this page on GitHub!
Contributors to this page:jifbt, billchenchina, Enter-tainer, Great-designer, iamtwz, ImpleLee, isdanni, Menci, ouuan, Tiphereth-A, warzone-oier, Xeonacid, c-forrest, cervoliu
All content on this page is provided under the terms of the CC BY-SA 4.0 and SATA license, additional terms may apply