Bỏ qua

Xáo trộn (Derangement)

错位排列

定义

错位排列（derangement）是没有任何元素出现在其有序位置的排列．即，对于 \(1\sim n\) 的排列 \(P\)，如果满足 \(P_i\neq i\)，则称 \(P\) 是 \(n\) 的错位排列．

例如，三元错位排列有 \(\{2,3,1\}\) 和 \(\{3,1,2\}\)．四元错位排列有 \(\{2,1,4,3\}\)、\(\{2,3,4,1\}\)、\(\{2,4,1,3\}\)、\(\{3,1,4,2\}\)、\(\{3,4,1,2\}\)、\(\{3,4,2,1\}\)、\(\{4,1,2,3\}\)、\(\{4,3,1,2\}\) 和 \(\{4,3,2,1\}\)．错位排列是没有不动点的排列，即没有长度为 1 的循环．

容斥原理的计算

全集 \(U\) 即为 \(1\sim n\) 的排列，\(|U|=n!\)；令 \(S_i\) 是其中满足 \(P_i\neq i\) 的排列．运用补集和 容斥原理 的知识，问题变成求：

\[ \begin{aligned} \left|\bigcap_{i=1}^n S_i\right| &=|U|-\left|\bigcup_{i=1}^n\overline{S_i}\right|\\ &=n!-\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}\left|\bigcap_{i=1}^{k}\overline{S_{a_i}}\right| \end{aligned} \]

其中求和的含义是 \(1, 2, \cdots, n\) 中取 \(a_1, a_2, \cdots, a_k\) 且满足 \(a_i<a_{i+1}\)．于是

\[ \left|\bigcap_{i=1}^{k}\overline{S_{a_i}}\right| \]

表示有 \(k\) 个数 \(a_1,a_2,\cdots,a_k\) 满足 \(P_{a_i}=a_i\)，而剩下 \(n-k\) 个数的位置任意的排列数，因此：

\[ \left|\bigcap_{i=1}^{k}\overline{S_{a_i}}\right|=(n-k)! \]

这 \(k\) 个数的选择情况共 \(\dbinom{n}{k}\) 种，对其求和有：

\[ \begin{aligned} &\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}\left|\bigcap_{i=1}^{k}\overline{S_{a_i}}\right|\\ =&\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\dbinom{n}{k}(n-k)!\\ =&\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{n!}{k!}\\ =&n!\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1} }{k!} \end{aligned} \]

因此 \(n\) 个元素的错位排列数为：

\[ D_n=n!-n!\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1} }{k!}=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!} \]

错位排列数列的前几项为 \(0,1,2,9,44,265\)（OEIS A000166）．

递推的计算

把错位排列问题具体化，考虑这样一个问题：

\(n\) 封不同的信，编号分别是 \(1,2,3,4,5\)，现在要把这五封信放在编号 \(1,2,3,4,5\) 的信封中，要求信封的编号与信的编号不一样．问有多少种不同的放置方法？

假设考虑到第 \(n\) 个信封，初始时暂时把第 \(n\) 封信放在第 \(n\) 个信封中，然后考虑两种情况的递推：

  • 前面 \(n-1\) 个信封全部装错；
  • 前面 \(n-1\) 个信封有一个没有装错其余全部装错．

对于第一种情况，前面 \(n-1\) 个信封全部装错：因为前面 \(n-1\) 个已经全部装错了，所以第 \(n\) 封只需要与前面任一一个位置交换即可，总共有 \(D_{n-1}\times (n-1)\) 种情况．

对于第二种情况，前面 \(n-1\) 个信封有一个没有装错其余全部装错：考虑这种情况的目的在于，若 \(n-1\) 个信封中如果有一个没装错，那么把那个没装错的与 \(n\) 交换，即可得到一个全错位排列情况．

其他情况，不可能通过一次操作来把它变成一个长度为 \(n\) 的错排．

于是可得，错位排列数满足递推关系：

\[ D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) \]

这里也给出另一个递推关系：

\[ D_n=nD_{n-1}+{(-1)}^n \]

其他关系

错位排列数有一个简单的取整表达式，增长速度与阶乘仅相差常数：

\[ D_n=\begin{cases} \left\lceil\frac{n!}{\mathrm{e}}\right\rceil, & \text{if }n\text{ is even}, \\ \left\lfloor\frac{n!}{\mathrm{e}}\right\rfloor, & \text{if }n\text{ is odd}. \end{cases} \]

随着元素数量的增加，形成错位排列的概率 P 接近：

\[ P=\lim_{n\to\infty}\frac{D_n}{n!}=\frac{1}{\mathrm{e}} \]
Last updated on this page:, Update history
Found an error? Want to help improve? Edit this page on GitHub!
Contributors to this page:OI-wiki
All content on this page is provided under the terms of the CC BY-SA 4.0 and SATA license, additional terms may apply