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复数

引入

注

下面的引入方法来自人教版高中数学 A 版必修二．

从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程 \(x^2+a=0 (a>0)\) 有没有解，进而可以归结为方程 \(x^2+1=0\) 有没有解．

回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关．例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 \(x^2-2=0\) 这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集．数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．

依照这种思想，为了解决 \(x^2+1=0\) 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 \(\mathrm{i}\)，使得 \(x=\mathrm{i}\) 是方程 \(x^2+1=0\) 的解，即使得 \(\mathrm{i}^2=-1\)．

思考：把新引进的数 \(\mathrm{i}\) 添加到实数集中，我们希望数 \(\mathrm{i}\) 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律．那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？

依照以上设想，把实数 \(b\) 与 \(\mathrm{i}\) 相乘，结果记作 \(b\mathrm{i}\)；把实数 \(a\) 与 \(b\mathrm{i}\) 相加，结果记作 \(a+b\mathrm{i}\)．注意到所有实数以及 \(\mathrm{i}\) 都可以写成 \(a+b\mathrm{i}(a,b\in \mathbf{R})\) 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中．

定义

我们定义形如 \(a+b\mathrm{i}\)，其中 \(a,b\in \mathbf{R}\) 的数叫做 复数，其中 \(\mathrm{i}\) 被称为 虚数单位，全体复数的集合叫做 复数集，记作 \(\mathbf{C}\)．

复数通常用 \(z\) 表示，即 \(z=a+b\mathrm{i}\)．这种形式被称为 复数的代数形式．其中 \(a\) 称为复数 \(z\) 的 实部，记作 \(\operatorname{Re}(z)\)，\(b\) 称为复数 \(z\) 的 虚部，记作 \(\operatorname{Im}(z)\)．如无特殊说明，都有 \(a,b\in \mathbf{R}\)．

对于一个复数 \(z\)，当且仅当 \(b=0\) 时，它是实数，当 \(b\not = 0\) 时，它是虚数，当 \(a=0\) 且 \(b\not = 0\) 时，它是纯虚数．

纯虚数，虚数，实数，复数的关系如下图所示．

性质与运算

几何意义

我们知道了 \(a+b\mathrm{i}\) 这样类似的形式的数被称为复数，并且给出了定义和分类，我们还可以挖掘一下更深层的性质．

我们把所有实数都放在了数轴上，并且发现数轴上的点与实数一一对应．我们考虑对复数也这样处理．

首先我们定义 复数相等：两个复数 \(z_1=a+b\mathrm{i},z_2=c+d\mathrm{i}\) 是相等的，当且仅当 \(a=c\) 且 \(b=d\)．

这么定义是十分自然的，在此不做过多解释．

也就是说，我们可以用唯一的有序实数对 \((a,b)\) 表示一个复数 \(z=a+b\mathrm{i}\)．这样，联想到平面直角坐标系，我们可以发现 复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应．好了，我们找到了复数的一种几何意义．

那么这个平面直角坐标系就不再一般，因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义——表示一个复数，所以我们把这样的平面直角坐标系称为 复平面，\(x\) 轴称为 实轴，\(y\) 轴称为 虚轴．我们进一步地说：复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的．

我们考虑到学过的平面向量的知识，发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 \((a,b)\)，显然，复数 \(z=a+b\mathrm{i}\) 对应复平面内的点 \(Z(a,b)\)，那么它还对应平面向量 \(\overrightarrow{OZ}=(a,b)\)，于是我们又找到了复数的另一种几何意义：复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的（实数 \(0\) 与零向量对应）．

于是，我们由向量的知识迁移到复数上来，定义 复数的模 就是复数所对应的向量的模．复数 \(z=a+b\mathrm{i}\) 的模 \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)．

于是为了方便，我们常把复数 \(z=a+b\mathrm{i}\) 称为点 \(Z\) 或向量 \(\overrightarrow {OZ}\)，并规定相等的向量表示同一个复数．

并且由向量的知识我们发现，虚数不可以比较大小（但是实数是可以的）．

加法与减法

对复数 \(z_1=a+b\mathrm{i},z_2=c+d\mathrm{i}\)，定义加法规则如下：

\[ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\mathrm{i} \]

很明显，两个复数的和仍为复数．

考虑到向量的加法运算，我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则，这同样证明了复数的几何意义的正确性．

同样可以验证，复数的加法满足 交换律 和 结合律．即：

\[ \begin{aligned} z_1+z_2&=z_2+z_1\\ (z_1+z_2)+z_3&=z_1+(z_2+z_3) \end{aligned} \]

减法作为加法的逆运算，我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则：

\[ z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\mathrm{i} \]

这同样符合向量的减法运算．

乘法、除法与共轭

对复数 \(z_1=a+b\mathrm{i},z_2=c+d\mathrm{i}\)，定义乘法规则如下：

\[ \begin{aligned} z_1z_2&=(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})\\ &=ac+bc\mathrm{i}+ad\mathrm{i}+bd\mathrm{i}^2\\ &=(ac-bd)+(bc+ad)\mathrm{i} \end{aligned} \]

可以看出，两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只需要把 \(\mathrm{i}^2\) 换成 \(-1\)，并将实部与虚部分别合并即可．

复数的乘法与向量的向量积形式类似．

易得复数乘法满足 交换律，结合律 和 对加法的分配律，即：

  • \(z_1z_2=z_2z_1\)
  • \((z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)\)
  • \(z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3\)

由于满足运算律，我们可以发现实数域中的 乘法公式在复数域中同样适用．

除法运算是乘法运算的逆运算，我们可以推导一下：

\[ \begin{aligned} \frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}&=\frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{(c+d\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}\\ &=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm{i} &(c+d\mathrm{i}\not =0) \end{aligned} \]

由于向量没有除法，这里不讨论与向量的关系．

为了分母实数化，我们乘了一个 \(c-d\mathrm{i}\)，这个式子很有意义．

对复数 \(z=a+b\mathrm{i}\)，称 \(a-b\mathrm{i}\) 为 \(z\) 的 共轭复数，通常记为 \(\bar z\)．我们可以发现，若两个复数互为共轭复数，那么它们 关于实轴对称．

对复数 \(z,w\)，复数共轭有如下性质

  • \(z\cdot\bar{z}=|z|^2\)
  • \(\overline{\overline{z}}=z\)
  • \(\operatorname{Re}(z)=\dfrac{z+\bar{z}}{2}\)，\(\operatorname{Im}(z)=\dfrac{z-\bar{z}}{2}\)
  • \(\overline{z\pm w}=\bar{z}\pm\bar{w}\)
  • \(\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}\)
  • \(\overline{z/w}=\bar{z}/\bar{w}\)

辐角和辐角主值

如果设定实数单位 \(1\) 作为水平正方向，虚数单位 \(\mathrm{i}\) 作为竖直正方向，得到的就是直角坐标视角下的复平面．

表示复数 \(z\) 的位置，也可以借助于极坐标 \((r, \theta)\) 确定．前文已经提到了 \(r\) 为复数 \(z\) 的模．

从实轴正向到 非零 复数 \(z=x+\mathrm{i}y\) 对应向量的夹角 \(\theta\) 满足关系：

\[ \tan \theta=\frac{y}{x} \]

称为复数 \(z\) 的 辐角，记为：

\[ \theta= \arg z \]

任一个 非零 复数 \(z\) 有无穷多个辐角，故 \(\arg z\) 事实上是一个集合．借助开头大写的 \(\operatorname{Arg} z\) 表示 其中一个特定值，满足条件：

\[ -\pi<\operatorname{Arg} z \le \pi \]

称 \(\operatorname{Arg} z\) 为 辐角主值 或 主辐角．辐角就是辐角主值基础上加若干整数个（可以为零或负整数）\(2k\pi\)，即 \(\arg z = \{\operatorname{Arg} z + 2k\pi \mid k\in \mathbf Z\}\)．

需要注意的是两个辐角主值相加后不一定还是辐角主值，而两个辐角相加一定还是合法的辐角．

称模小于 \(1\) 的复数，在复平面上构成的图形为 单位圆．称模等于 \(1\) 的复数为 单位复数，全体单位复数在复平面上构成的图形为 单位圆周．在不引起混淆的情况下，有时单位圆周也简称单位圆．

在极坐标的视角下，复数的乘除法变得很简单．复数乘法，模相乘，辐角相加．复数除法，模相除，辐角相减．

欧拉公式

欧拉公式（Euler's formula）1

对任意实数 \(x\)，有

\[ \mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x \]

在补充 复指数函数与复三角函数 的定义后，该公式可推广至全体复数．

指数函数与三角函数

对于复数 \(z=x+\mathrm{i}y\)，函数 \(f(z)=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y)\) 满足 \(f(z_1+z_2)=f(z_1)f(z_2)\)．由此给出 复指数函数 的定义：

\[ \exp z=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y) \]

复指数函数在实数集上与实指数函数的定义完全一致．在复平面上拥有性质：

  • 模恒正：\(|\exp z|=\exp x>0\)．
  • 辐角：\(\arg(\exp z)=\{y + 2k\pi \mid k\in\mathbf Z\}\)．
  • 加法定理：\(\exp (z_1+z_2)=\exp (z_1)\exp (z_2)\)．
  • 周期性：\(\exp z\) 是以 \(2\pi \mathrm{i}\) 为基本周期的周期函数．如果一个函数 \(f(z)\) 的周期是某一周期的整倍数，称该周期为 基本周期．

复三角函数（也简称 三角函数）的定义如下：

\[ \cos z=\frac{\exp (\mathrm{i}z)+\exp (-\mathrm{i}z)}{2} \]
\[ \sin z=\frac{\exp (\mathrm{i}z)-\exp (-\mathrm{i}z)}{2\mathrm{i}} \]

若取 \(z\in\mathbf{R}\)，则由 欧拉公式 有：

\[ \cos z=\operatorname{Re}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}\right) \]
\[ \sin z=\operatorname{Im}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}\right) \]

复三角函数在实数集上与实三角函数的定义完全一致．在复平面上拥有性质：

  • 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
  • 三角恒等式：通常的三角恒等式都成立，例如平方和为 \(1\)，或者角的和差公式等．
  • 周期性：正弦与余弦函数以 \(2\pi\) 为基本周期．
  • 零点：实正弦与实余弦函数的全体零点，构成了复正弦与复余弦函数的全体零点．这个推广没有引进新的零点．
  • 模的无界性：复正弦与复余弦函数，模长可以大于任意给定的正数，不再像实正弦与实余弦函数一样被限制在 \(1\) 的范围内．

复数的三种形式

借助直角坐标系的视角以及极坐标系的视角，可以写出复数的三种形式．

复数的 代数形式 用于表示任意复数．

\[ z=x+y\mathrm{i} \]

代数形式用于计算复数的加减乘除四个运算比较方便．

复数的 三角形式 和 指数形式，用于表示非零复数．

\[ z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta)=r \exp (\mathrm{i}\theta) \]

这两种形式用于计算复数的乘除两个运算以及后面的运算较为方便．如果只用高中见过的函数，可以使用三角形式．如果引入了复指数函数，写成等价的指数形式会更加方便．

单位根

考察方程 \(x^n=1\) 在复数意义下的解．显然，这样的解有 \(n\) 个，称这 \(n\) 个解都是 \(n\) 次单位（复）根（\(n\)-th root of unity）．根据复平面的知识，\(n\) 次单位根把单位圆 \(n\) 等分．

设 \(\omega_n=\exp\dfrac{2\pi \mathrm{i}}{n}\)（即幅角为 \(2\pi/n\) 的单位复数），则 \(x^n=1\) 的解集表示为 \(\{\omega_n^k\mid k=0,1\cdots,n-1\}\)，其中，

\[ w_n^k = \exp\dfrac{2\pi k \mathrm{i}}{n} = \cos\dfrac{2\pi k}{n} + \mathrm{i}\sin\dfrac{2\pi k}{n}. \]

如果不加说明，一般叙述中的 \(n\) 次单位根，是指从 \(1\) 开始逆时针方向的第一个解，即上述 \(\omega_n\)，其它解均可以用 \(\omega_n\) 的幂表示．

为什么通常提到 \(n\) 次单位根，总是特指第一个？

主要是为了应用时方便．所有 \(n\) 次单位根都可以表示为第一个 \(n\) 次单位根 \(\omega_n\) 的幂次；而且，对于任意 \(k < n\)，复数 \(\omega_n\) 都不是 \(k\) 次单位根．

本原单位根

事实上，\(n\) 次单位根中满足类似性质的不止 \(\omega_n\) 一个．称集合

\[ \{\omega_n^k\mid 0\le k<n,~\gcd(n,k)=1\} \]

中的元素为 \(n\) 次本原单位根（\(n\)-th primitive root of unity）．根据上述表达式可知，全体 \(n\) 次本原单位根共有 \(\varphi(n)\) 个，其中，\(\varphi(n)\) 为 欧拉函数．

任意一个本原单位根 \(\omega\)，都与上述 \(\omega_n\) 具有相同的性质：对于任意的 \(0<k<n\)，\(\omega\) 的 \(k\) 次幂不为 \(1\)，也就是说，\(\omega\) 不是 \(k\) 次单位根．因此，借助任意一个本原单位根，都可以生成全体单位根．

为了理解 \(n\) 次本原单位根的结构，需要考虑单位根的如下性质：

性质

对于整数 \(n\) 和 \(k\)，设 \(d=\gcd(n,k)\)，有 \(\omega_n^k = \omega_{n/d}^{k/d}\)．

证明

直接计算可知

\[ w_n^k = \exp\dfrac{2\pi k\mathrm{i}}{n} = \exp\dfrac{2\pi (k/d)\mathrm{i}}{n/d} = \omega_{n/d}^{k/d}. \]

这说明，只要 \(\gcd(n,k)\neq 1\)，那么，\(\omega_n^k\) 就一定是 \(\dfrac{n}{\gcd(n,k)}\) 次（本原）单位根．因此，满足前述性质的单位根 \(\omega_n^k\) 一定是满足 \(\gcd(n,k)=1\)．这正是本原单位根具有上述定义的原因．

另外，作为这些分析的简单推论，有：

定理

当 \(k\) 遍历 \(n\) 的因数，所有 \(k\) 次本原单位根恰构成 \(n\) 次单位根的一个划分．而且，对于 \(\ell\perp n\)，映射 \(x\mapsto x^\ell\) 给出 \(n\) 次单位根之间的双射，且保持上述划分不变：它将 \(k\mid n\) 次本原单位根仍然映射到 \(k\) 次本原单位根．

尽管本原单位根有很多选择，但是由于第一个根 \(\omega_n\) 形式最为简单，算法竞赛中还是 \(\omega_n\) 最为常用．对于部分场景，为提高计算效率，还可以考虑用某一模数下的 本原单位根 代替复数域中的 \(\omega_n\)．

编程语言中的复数

C 中的复数

在 C99 标准中，有 <complex.h> 头文件．

在 <complex.h> 头文件中，提供了 double complex、float complex 和 long double complex 三种类型．

算术运算符'+'、'-'、'*'和'/'，可以用于浮点数和复数的任意混合．当表达式两端有一个为复数时，计算结果为复数．

头文件 <complex.h> 提供了虚数单位 I，引入此头文件时，大写字母 I 不可以作为变量名使用．

对于单个复数，<complex.h> 提供了若干操作：creal 函数用于提取实部，cimag 函数用于提取虚部，cabs 函数用于计算模，carg 函数用于计算辐角主值．

所有的函数根据类型不同，都有三个．例如 creal 函数有 creal、crealf、creall 三个，用于处理对应的 double、float 和 long double 三种类型．末尾什么都不带的默认处理 double 类型．以下所有函数均遵从此规律，不再特别说明．

这些函数返回值都是一般的浮点数．可以将普通浮点数直接赋值给复数，但是不可以将复数直接赋值给浮点数，而是需要使用上述提取操作．

函数 conj 用于计算共轭复数，返回值是复数．

函数 cexp 计算复指数，clog 计算对数主值，csin 计算正弦，ccos 计算余弦，ctan 计算正切．

函数 cpow 计算幂函数，csqrt 计算平方根，casin 计算反正弦，cacos 计算反余弦，catan 计算反正切．这部分函数计算的全部都是多值函数的主值．

C++ 中的复数

在 C 里面的 <ctype.h>，到 C++ 会变成 <cctype>，几乎所有的头文件遵从这个命名规律．

但是，<complex.h> 不遵守，C++ 没有 <ccomplex> 头文件．C++ 的复数直接是 <complex>，并且装的东西和 C 完全不一样．

很有趣．这是因为，在 C++ 的第一个版本 C++98，即已经有了 <complex>，而 C 语言在 C99 才添加．

在 C++ 中，复数类型定义使用 complex<float>、complex<double> 和 complex<long double>．由于面向对象的多态性，下面函数的名字都是唯一的，无需 f 或 l 的后缀．

一个复数对象拥有成员函数 real 和 imag，可以访问实部和虚部．

一个复数对象拥有非成员函数 real、imag、abs、arg，返回实部、虚部、模和辐角．

一个复数对象还拥有非成员函数：norm 为模的平方，conj 为共轭复数．

一个复数对象还拥有非成员函数 exp、log（底为 \(\mathrm{e}\) 的对数主值）、log10（底为 10 的对数主值，C 中没有）、pow、sqrt、sin、cos、tan，含义与 C 中的含义相同．

在 C++14 及以后的版本中，定义了 字面量运算符 std::literals::complex_literals::""if, ""i, ""il．例如输入 100if、100i 和 100il，三者将分别返回 std::complex<float>{0.0f, 100.0f}、std::complex<double>{0.0, 100.0} 以及 std::complex<long double>{0.0l, 100.0l}．这使得我们可以方便地书写形如 auto z = 4.0 + 3i 的复数声明．

参考资料与链接

  1. 有关欧拉公式的更多介绍，可以参考两个视频：欧拉公式与初等群论、微分方程概论 - 第五章：在 3.14 分钟内理解 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\)． ↩

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