Định thức

Định thức là phép toán trên ma trận vuông. Với ma trận \(A\), \(\det A\) là định thức.

Bài này giới thiệu ba cách định nghĩa tương đương.

Định nghĩa bằng hoán vị

Cách này tính tay cho bậc nhỏ, độ phức tạp giai thừa.

Ký hiệu \(\pi(j_1j_2\cdots j_n)\) là số nghịch thế, \(S_n\) là tập hoán vị độ dài \(n\). Khi đó:

\[ \begin{aligned} \det A &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} \\ &= \sum_{(j_1j_2\cdots j_n) \in S_n} (-1)^{\pi(j_1j_2\cdots j_n)} a_{1 j_1} a_{2 j_2}\dots a_{n j_n} \end{aligned} \]

Nghĩa là tổng đại số của \(n!\) tích, mỗi tích lấy một phần tử ở mỗi hàng và mỗi cột. Dấu của tích phụ thuộc vào tính chẵn/lẻ của hoán vị.

Quy tắc đường chéo cho cấp 2 và 3 chính là cách này. Bậc ≥4 không dùng được. Định thức bậc 1 là chính phần tử đó.

Định lý: nếu lấy các phần tử \(a_{i_1j_1}\cdots a_{i_nj_n}\) từ các hàng/cột theo hoán vị, thì dấu là \({(-1)}^{s+t}\) với \(s=\pi(i_1\cdots i_n)\), \(t=\pi(j_1\cdots j_n)\).

Định lý: \(\det A = \det A^T\).

Định lý: nếu một hàng (hoặc cột) là tổng hai hàng (cột), thì định thức là tổng hai định thức tương ứng.

Định nghĩa quy nạp

Chỉ mô tả tính chất đại số, không dùng để tính.

Phần bù đại số

Trong định thức bậc \(n\), lấy ma trận con bậc \(k\) và định thức của nó gọi là tiểu thức. Với phần tử \(a_{ij}\), ma trận con bỏ hàng \(i\) cột \(j\) gọi là phần bù, định thức của nó là phần bù.

Phần bù đại số của \(a_{ij}\) là \(A_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ij}\).

Theo định nghĩa hoán vị: nếu hàng \(i\) (hoặc cột \(j\)) ngoài \(a_{ij}\) đều 0, thì \(\det A=a_{ij}A_{ij}\).

Khai triển định thức

Định thức là tổng các phần tử trên một hàng (hoặc cột) nhân với phần bù đại số tương ứng:

\[ \begin{aligned} \det A &= \sum_{j = 1}^{n} a_{ij}A_{ij} \\ &= \sum_{j = 1}^{n} (-1)^{i + j} a_{ij} \det M_{ij} \end{aligned} \]

Tương tự theo cột:

\[ \det A=\sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i + j} a_{ij} \det M_{ij} \]

Cơ sở quy nạp là bậc 1.

Hệ quả: hàng \(i\) nhân phần bù của hàng \(j\) (với \(i\ne j\)) có tổng bằng 0; tương tự theo cột.

Định nghĩa tiên đề hóa

Dựa trên các tính chất, phép toán thỏa bốn tính chất là định thức.

Kiến thức trước: biến đổi sơ cấp.

Ký hiệu \(D_i(k)\), \(P_{ij}\), \(T_{ij}(k)\) như trong phần trước.

Với ma trận \(A\), phép toán \(\det\) là định thức nếu:

Nhân một hàng/cột với \(k\) làm định thức nhân \(k\):

\[ \det(D_i(k)A) = \det(AD_i(k)) = k \det A \]
Đổi hai hàng/cột đổi dấu:

\[ \det(P_{ij}A) = \det(AP_{ij}) = -\det A \]
Cộng bội một hàng/cột vào hàng/cột khác không đổi định thức:

\[ \det(T_{ij}(k)A) = \det(AT_{ij}(k))= \det A \]
\(\det I=1\).

Dùng tính chất này để tính định thức bằng biến đổi sơ cấp; khử Gauss cũng dựa vào đây, độ phức tạp \(O(n^3)\).

Một số hệ quả:

Có thể đưa ước chung của một hàng/cột ra ngoài.
Nếu một hàng/cột toàn 0 thì định thức bằng 0.
Nếu hai hàng/cột tỉ lệ thì định thức bằng 0.
Nếu hai hàng/cột giống nhau thì định thức bằng 0.

Last updated on this page:, Update history
Found an error? Want to help improve? Edit this page on GitHub!
Contributors to this page:OI-wiki
All content on this page is provided under the terms of the CC BY-SA 4.0 and SATA license, additional terms may apply