Bỏ qua

Chéo hóa

Không gian riêng

Tập mọi vectơ riêng ứng với \(\lambda_0\) (thêm vectơ 0) tạo thành không gian tuyến tính, gọi là không gian riêng \(E(\lambda_0)\) của ma trận \(A\). Nó là không gian nghiệm của:

\[ (\lambda_0 I-A)X=0 \]

Với \(E(\lambda_i)=N(\lambda_i I-A)\), theo định lý khuyết + hạng:

\[ r(\lambda_i I-A)+\operatorname{dim} N(\lambda_i I-A)=n \]

Suy ra:

\[ \operatorname{dim} E(\lambda_i)=n-r(\lambda_i I-A) \]

gọi là bội hình học của \(\lambda_i\).

Không gian con bất biến

Khi nghiên cứu biến đổi tuyến tính \(T\), ta muốn chọn cơ sở sao cho ma trận đơn giản.

Cho \(V\) trên trường \(F\), \(W\) là không gian con, \(T\) là biến đổi tuyến tính. Nếu với mọi \(x\in W\), \(T(x)\in W\), thì \(W\) là không gian con bất biến.

Không gian bất biến không phải “tọa độ không đổi”, mà là sau biến đổi vẫn nằm trong không gian đó.

  • Mọi không gian con của \(V\) là bất biến với phép nhân vô hướng.
  • Với mọi \(T\), \(V\) và không gian 0 là bất biến (tầm thường).
  • Giao và tổng của các không gian bất biến cũng bất biến.

Với không gian bất biến \(W\), hạn chế \(T\) lên \(W\) gọi là hạn chế \({T|}_W\).

Ảnh \(R(T)\) và kernel \(N(T)\) là không gian bất biến của \(T\).

Không gian riêng cũng là không gian bất biến.

Phân rã sơ cấp

Theo định lý cơ bản đại số, đa thức tối tiểu:

\[ m_A(\lambda)={(\lambda-\lambda_1)}^{r_1}\cdots{(\lambda-\lambda_S)}^{r_S} \]

Xét các không gian con bất biến:

\[ W_i=N({(\lambda_i I-A)}^{r_i}) \]

Định lý: \(\dim W_i\) bằng bội đại số của \(\lambda_i\).

Bội đại số là số mũ trong đa thức đặc trưng, bội hình học là số chiều không gian riêng. \(W_i\) đạt đến bội đại số sau lũy thừa \(r_i\).

Gọi \(T\) là biến đổi tương ứng với \(A\), và \(T_i={T|}_{W_i}\). Khi đó đa thức tối tiểu của \(T_i\) là \((x-\lambda_i)^{r_i}\).

Định lý: \(V\) phân rã thành tổng trực tiếp các không gian bất biến \(W_i\):

\[ V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_S \]

Tương ứng ma trận là dạng khối chéo:

\[ \operatorname{diag}\{A_1,A_2,\cdots,A_S\} \]

trong đó \(A_i\) là ma trận của \(T_i\).

Ma trận khả chéo hóa

Ma trận vuông \(A\) khả chéo hóa nếu tương tự một ma trận đường chéo.

  • Tổng, tích, nghịch đảo (nếu có) của ma trận đường chéo vẫn đường chéo, đường chéo là trị riêng.
  • \(T\) khả chéo hóa ⇔ có cơ sở để ma trận là đường chéo.

Định lý: với trị riêng phân biệt \(\lambda_1,\cdots,\lambda_m\), các mệnh đề sau tương đương:

  • \(A\) khả chéo hóa.
  • \(A\) có \(n\) vectơ riêng độc lập.
  • \(\sum \operatorname{dim} E(\lambda_i)=n\).

Do đó, \(A\) khả chéo hóa ⇔ bội đại số = bội hình học cho mọi trị riêng.

Hệ quả: nếu \(A\) có \(n\) trị riêng phân biệt thì khả chéo hóa; ngược lại không nhất thiết.

Định lý: \(A\) khả chéo hóa ⇔ đa thức tối tiểu không có nghiệm bội.

Tương tự, ma trận tương tự giữ quan hệ phụ thuộc giữa các vectơ riêng.

Vectơ riêng có thể không thuộc \(\mathbb{R}\) hoặc không đủ \(n\) vectơ độc lập.

Với trị riêng bội, không gian riêng có nhiều vectơ; thường chọn một cơ sở, rồi trực giao hóa và chuẩn hóa.

Vectơ riêng không nhất thiết trực giao; các trị riêng khác nhau có thể không trực giao. Trực giao hóa chỉ áp dụng cho vectơ riêng của cùng một trị riêng; chuẩn hóa áp dụng cho mọi vectơ riêng.

Ma trận nilpotent

Biến đổi \(T\) là nilpotent nếu tồn tại \(r\) sao cho \(T^r\) là biến đổi 0.

Ma trận \(N\) gọi nilpotent nếu \(N^r=0\).

Thường lấy \(r\) nhỏ nhất, khi đó đa thức tối tiểu là \(x^r\). Tồn tại \(\xi_0\) sao cho:

  • \[ T^r(\xi_0)=0 \]
  • \[ T^{r-1}(\xi_0)\neq 0 \]

Không gian tuần hoàn

Định lý: nếu tồn tại \(s\) sao cho \(T^s(\xi)=0\) và \(T^{s-1}(\xi)\ne 0\) thì các vectơ \(\xi,T(\xi),\cdots,T^{s-1}(\xi)\) độc lập.

Định nghĩa: nếu tồn tại \(\xi_0\) và \(r\) sao cho:

  • \(\xi_0,T(\xi_0),\cdots,T^{r-1}(\xi_0)\) là cơ sở của \(W\);
  • \(T^r(\xi_0)=0\),

thì \(W\) là không gian tuần hoàn của \(T\). \(\xi_0\) là vectơ sinh, và dãy trên là cơ sở tuần hoàn.

Rõ ràng \(W\) bất biến và mọi \(\xi\in W\) có \(T^r(\xi)=0\).

Jordan block nilpotent

Nếu \(W\) là tuần hoàn, thì \({T|}_W\) là nilpotent và trong cơ sở tuần hoàn đảo ngược \(T^{r-1}(\xi_0),\dots,\xi_0\), ma trận là:

\[ N_r=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots& \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \end{pmatrix} \]

Gọi là Jordan block nilpotent bậc \(r\).

Với biến đổi nilpotent \(T\) trên \(V\) \(n\) chiều, dãy \(r_1\ge\cdots\ge r_S\) xác định từ phân rã không gian tuần hoàn gọi là chỉ số bất biến của \(T\).

Tương tự cho ma trận nilpotent.

Ma trận nilpotent tương tự dạng chuẩn gồm các Jordan block nilpotent. Đây là phần nilpotent trong dạng Jordan.

Một số định lý

  1. Với nilpotent \(T\) và đa thức \(h(x)=a_0+\cdots+a_mx^m\), thì \(h(T)\) khả nghịch ⇔ \(a_0\ne 0\). Khi đó \(h(T)^{-1}\) cũng là đa thức của \(T\).

  2. Với nilpotent \(T\), \(W\) là không gian tuần hoàn \(r\) chiều, \(\xi\in W\). Nếu tồn tại \(k\) sao cho \(T^{r-k}(\xi)=0\), thì tồn tại \(\eta\in W\) sao cho \(\xi=T^k(\eta)\).

  3. Với nilpotent \(T\) trên \(V\) \(n\) chiều, đa thức tối tiểu \(x^r\), nếu \(W_1\) là không gian tuần hoàn \(r\) chiều thì tồn tại \(W_2\) sao cho:

    \[ V=W_1\oplus W_2 \]

    và \(W_2\) bất biến.

  4. Với nilpotent \(T\), \(V\) phân rã thành tổng trực tiếp các không gian tuần hoàn:

    \[ V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_S \]

  5. Mọi ma trận nilpotent bậc \(n\) tương tự ma trận:

    \[ N=\begin{pmatrix} N_{r_1} & & & 0\\ & N_{r_2} & & \\ & & \cdots & \\ 0 & & & N_{r_S}\\ \end{pmatrix} \]

  6. Nếu sắp \(r_1\ge\cdots\ge r_S\), thì phân rã tuần hoàn của \(V\) là duy nhất.

Last updated on this page:, Update history
Found an error? Want to help improve? Edit this page on GitHub!
Contributors to this page:OI-wiki
All content on this page is provided under the terms of the CC BY-SA 4.0 and SATA license, additional terms may apply