Nghịch đảo Lagrange

Chuỗi Laurent hình thức

Ta đã biết vành chuỗi lũy thừa hình thức \(\mathbb{C}\lbrack\lbrack x\rbrack\rbrack\), định nghĩa vành chuỗi Laurent hình thức:

\[ \mathbb{C}\left(\left(x\right)\right):=\left\lbrace \sum_{k\geq N}a_kx^k : N\in\mathbb{Z},a_k\in \mathbb{C}\right\rbrace \]

Ta định nghĩa nghịch đảo nhân của phần tử trong \(\mathbb{C}\left(\left(x\right)\right)\) tương tự chuỗi lũy thừa:

Với \(f:=\sum_{k\geq N}f_kx^k\) và \(f_N\neq 0\), tồn tại \(g=\sum_{k\geq -N}g_kx^k\) sao cho \(fg=1\), thì

\[ g_k:= \begin{cases} f_N^{-1}, &\text{ nếu }k=-N, \\ -f_N^{-1}\sum_{i> N}f_ig_{k-i}, &\text{ các trường hợp khác} \end{cases} \]

Tương tự chuỗi lũy thừa, với \(f(x)=\sum_{k\geq N}f_kx^k\neq 0\), định nghĩa:

\[ \operatorname{ord} f:=\min\lbrace k:f_k\neq 0\rbrace \]

Hiển nhiên với \(g\neq 0\):

\[ \operatorname{ord} (fg)=\operatorname{ord}(f)+\operatorname{ord}(g) \]

Phần dư hình thức

Phần dư hình thức là hệ số của \(x^{-1}\) trong chuỗi Laurent. Ký hiệu \(\operatorname{res} f:=\lbrack x^{-1}\rbrack f\).

Bổ đề: Với mọi chuỗi Laurent hình thức \(f\), ta có \(\operatorname{res} f'=0\).

Chứng minh: Theo định nghĩa đạo hàm hình thức \(\left(x^k\right)'=kx^{k-1}\).

Bổ đề: Với mọi chuỗi Laurent hình thức \(f,g\), ta có \(\operatorname{res}(f'g)=-\operatorname{res}(fg')\).

Chứng minh: Theo quy tắc nhân \((fg)'=f'g+fg'\), nên \(0=\operatorname{res}((fg)')=\operatorname{res}(f'g)+\operatorname{res}(fg')\).

Bổ đề: Với chuỗi Laurent hình thức \(f(x)\neq 0\), \(\operatorname{res}(f'/f)=\operatorname{ord}f\).

Chứng minh: Đặt \(\operatorname{ord}f=k\):

\[ \begin{aligned} \operatorname{res}\left(\frac{f'}{f}\right)&=\operatorname{res}\left(\frac{kf_kx^{k-1}+\cdots}{f_kx^k+f_{k+1}x^{k+1}+\cdots}\right) \\ &=\operatorname{res}\left(\frac{kf_kx^{-1}+\cdots}{f_k+f_{k+1}x+\cdots}\right) \\ &=k \end{aligned} \]

Bổ đề: Với chuỗi Laurent hình thức \(f\) và chuỗi lũy thừa hình thức \(g\neq 0\), ta có \(\operatorname{res}(f)\operatorname{ord}(g)=\operatorname{res}(f(g)g')\).

Chứng minh: Nhờ tính tuyến tính, chỉ cần chứng minh \(f=x^k\) với \(k\in\mathbb{Z}\). Nếu \(k\neq -1\):

\[ \begin{aligned} \operatorname{res}x^k&=0 \\ \operatorname{res}(g^kg')&=\operatorname{res}\left(\frac{1}{k+1}\left(g^{k+1}\right)'\right) \\ &=\frac{1}{k+1}\operatorname{res}\left(\left(g^{k+1}\right)'\right) \\ &=0 \end{aligned} \]

Nếu \(k=-1\):

\[ \begin{aligned} \operatorname{res}f&=\operatorname{res}\left(x^{-1}\right)=1 \\ \operatorname{res}(f(g)g')&=\operatorname{res}(g'/g) \\ &=\operatorname{ord}(g) \\ &=\operatorname{res}(f)\operatorname{ord}(g) \end{aligned} \]

Nghịch đảo hợp

Ký hiệu \(A(x)\circ B(x):=A(B(x))\).

Mệnh đề: \(f(x):=\sum_{k\geq 1}f_kx^k\) có nghịch đảo hợp \(f^{\langle -1\rangle}(x)\) khi và chỉ khi \(f(0)=0\neq f'(0)\). Khi đó \(f^{\langle -1\rangle}(x)\) là duy nhất. Hơn nữa, nếu \(g(x)=\sum_{k\geq 1}g_kx^k\) thỏa \(f(g(x))=x\) hoặc \(g(f(x))=x\) thì \(g(x)=f^{\langle -1\rangle}(x)\).

Chứng minh: Xét

\[ \begin{aligned} g(f(x))&=g_1(f_1x+f_2x^2+f_3x^3+\cdots ) \\ &+g_2(f_1x+f_2x^2+\cdots )^2 \\ &+g_3(f_1x+\cdots )^3 \\ &+\cdots \\ &=g_1f_1x+(g_1f_2+g_2f_1^2)x^2+(g_1f_3+2g_2f_1f_2+g_3f_1^3)x^3+\cdots \end{aligned} \]

Vì \(g(f(x))=x\) nên hệ:

\[ \begin{cases} g_1f_1&=1 \\ g_1f_2+g_2f_1^2&=0 \\ g_1f_3+2g_2f_1f_2+g_3f_1^3&=0 \\ \vdots \end{cases} \]

Chỉ khi \(f_1\neq 0\) mới giải được phương trình đầu, rồi suy ra \(g_2,\dots\).

Đặc biệt, nếu \(f(h(x))=x\) thì \(g(f(h(x)))=g(x)\), nên \(g(x)=g\circ f\circ h(x)=x\circ h(x)=h(x)\).

Công thức phản diễn Lagrange

Cho \(f(x),g(x)\in\mathbb{C}\lbrack\lbrack x\rbrack\rbrack\) sao cho \(f(g(x))=g(f(x))=x\). Lấy \(\Phi(x)\in\mathbb{C}\lbrack\lbrack x\rbrack\rbrack\) (hoặc \(\Phi(x)\in\mathbb{C}\left(\left(x\right)\right)\)), khi đó

\[ \begin{aligned} \lbrack x^n\rbrack\Phi(f(x))&=\lbrack x^{n-1}\rbrack\Phi(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\left(\frac{x}{g(x)}\right)^n \\ &=\lbrack x^{-1}\rbrack\frac{\Phi(x)g'(x)}{g(x)^{n+1}} \end{aligned} \]

Chứng minh:

\[ \begin{aligned} \lbrack x^n\rbrack\Phi(f(x))&=\operatorname{res}\left(\frac{\Phi(f(x))}{x^{n+1}}\right) \\ &=\operatorname{res}\left(\frac{\Phi(f(g(x)))g'(x)}{g(x)^{n+1}}\right)\cdot \left(\operatorname{ord}(g(x))\right)^{-1} \\ &=\operatorname{res}\left(\frac{\Phi(x)g'(x)}{g(x)^{n+1}}\right) \end{aligned} \]

Một số độc giả quen với dạng: với \(k\in\mathbb{Z}_{\geq 0},n\in\mathbb{Z}_{>0}\):

\[ \lbrack x^n\rbrack f(x)^k=\frac{k}{n}\lbrack x^{n-k}\rbrack\left(\frac{x}{g(x)}\right)^n \]

hoặc

\[ \begin{aligned} \lbrack x^n\rbrack \Phi(f(x))&=\frac{1}{n}\lbrack x^{n-1}\rbrack \Phi'(x)\left(\frac{x}{g(x)}\right)^n \\ &=\frac{1}{n}\lbrack x^{-1}\rbrack\frac{\Phi'(x)}{g(x)^n} \end{aligned} \]

Ta thấy

\[ \begin{aligned} \operatorname{res}\left(\frac{\Phi'(x)}{g(x)^n}-n\frac{\Phi(x)g'(x)}{g(x)^{n+1}}\right)&=\operatorname{res}\left(\left(\frac{\Phi(x)}{g(x)^n}\right)'\right) \\ &=0 \end{aligned} \]

có thể suy ra từ các phần trước.

Tài liệu tham khảo

Richard P. Stanley and Sergey P. Fomin. Enumerative Combinatorics Volume 2 (Edition 1).
Ira M. Gessel. Lagrange Inversion.

Last updated on this page:, Update history
Found an error? Want to help improve? Edit this page on GitHub!
Contributors to this page:OI-wiki
All content on this page is provided under the terms of the CC BY-SA 4.0 and SATA license, additional terms may apply